Основы высшей математики для инженеров 2009

где 0 A xC Пусть | x | 1. Тогда при n 8 получим оценку остаточного

Поэтому, если взять первые 8 членов разложения ex при | x | 1, то мы получим число ex с точностью до 5 знаков после запятой.

Например,

e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

Проводя вычисления с 6 знаками после запятой, а затем округляя ре зультат, получим: e = 2,71828.

ных x. Поэтому для любого x мы можем вычислить ex с любой степе нью точности, если взятьM62достаточно большое число членов.

2.12.3. Разложение функций по формуле Тейлора

Разложение функции sin x.

Для функций f (x) sin x и f (x) cos x путем последовательного дифференцирования можно вывести общее выражение для n2ой

114 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если f (x) возрастает, то угол, составленный касательной с положи тельным направлением оси OX, — острый (в некоторых точках каса тельная может быть параллельна оси OX).

2.13.2. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция y f (x) имеет в точке x x1 локаль ный максимум, если существует такая окрестность точки x1, что f (x) f (x1) для любого x из этой окрестности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f (x) имеет в точке x x2 минимум, если существует такая окрестность точки x2 , что f (x) f (x2) для всех точек x из этой окрестности.

x1, x3 — точки максимума, x2 , x4 — точки минимума.

Максимумы и минимумы — точки экстремума.

З а мM62е ч а н и я. 1. Функция, определенная на отрезке [a, b], может достигать max и min только внутри этого отрезка.

2. Если f (x) имеет max в точке x1, это не значит, что она в этой точке имеет наибольшее значение во всей области определения, а означает только, что ее значение в точке x1 больше значений во всех точках, доста точно близких к точке x1.

Необходимые условия экстремума.

Теорема. Если дифференцируемая в точке x1 функция имеет в этой точке max (или min), то f (x1) 0.

Доказательство. Пусть в точке x1 f (x) имеет max. Тогда, по опре делению, существует такая окрестность точки x1, что f (x) f (x1) для любого x из нее. Пусть -x достаточно мало, тогда f (x1 -x) f (x1) при -x любого знака.

Аналогично доказывается утверждение для минимума.

При x 0 — max, но f (x) в этой точке не сущест вует (рис. 2.25).

Итак, если функция y f (x) в некоторой точке x имеет экстремум, то производная f (x) в этой точке равна 0 или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, на зываются критическими точками первого рода.

З а м е ч а н и е. Равенство производной нулю есть только необходимое условие экстремума, но не достаточное. Например, для функции y x3 в

точке 0, y 3x2 обращается в 0, но ясно, что эта функция не имеет экс тремума в точке 0.

2.13.3. ДостаточныйM62признак экстремума

Теорема 1. Если непрерывная функция y f (x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением, может быть, самой точки) и если при переходе аргумента через эту точку слева направо производная f (x) меняет знак с (–) на (+), то это точка минимума, если с (+) на (–) — точка максимума.

Доказательство. Пусть для определенности производная меняет знак с (+) на (–). Тогда слева от x x0 производная положительна, а справа — отрицательна. Следовательно, существует такое число h 0, что на [x0 h, x0] возрастает, а на [x0, x0 h] убывает. Поэтому значе ния функции в точке x0 больше, чем ее значения во всех остальных точках отрезка [x0 h, x0 h], а это и означает, что в точке x x0 f (x) имеет максимум.

Аналогично доказательство для случая минимума.

З а м е ч а н и е. Если при переходе через точку x0 производная не меня ет знака, то в этой точке функция не имеет ни минимума, ни максимума.

П р и м е р. Исследовать на экстремум функцию y x2 2 x 2. x 1

116 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.13.4. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке 2>й производной

Теорема 2. Пусть в точке x x0 первая производная функции обра2 щается в нуль. Если в этой точке существует и отлична от 0 вторая производная f (x0), то в точке x x0 функция f (x) имеет max, если f (x0) 0, и min, если f (x0) 0.

В этом случае приходитсяM62обращаться к первому достаточному признаку.

2.14. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие существо вания точек перегиба. Достаточное условие.

2.14.1. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда эта функ ция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на [a, b]. Очевидно, она может достигать наибольшего и наименьшего значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка [a, b]. Отсюда полу чаем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений.

1.Отыскиваем критические точки f (x) на (a, b).

2.Вычисляем значения f (x) на концах [a, b] и в критических точках.

3.Выбираем из всех значений наибольшее и наименьшее.

118 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теорема 1. Пусть функция y f (x) имеет вторую производную f (x) во всех точках (a, b). Тогда если f (x) 0 x (a, b), то график функции вогнут, а если f (x) 0, то график выпуклый.

Доказательство. Пусть f (x) 0. Докажем, что график функции f (x) выпуклый. Пусть x0 — произвольная точка (a, b). Напишем урав нение касательной к графику функции:

y f (x0) f (x0)(x x0) y f (x0) f (x0)(x x0).

Найдем разность абсцисс графика функции и касательной в произвольной точке x.

Y y f (x0) f (x) f (x0)(x x0).

По теореме Лагранжа f (x0) f (x) f (x)(x0 x), поэтому

Y y f (x)(x0 x) f (x0)(x x0) (x x0)[f (x0) f (x)],

(x x0)(x0 c) 0, f (c1) 0 по условию. Следовательно,

Y y 0 Y y.

Таким образом, ордината касательной больше ординаты графика в любой точке x. По определению график функции является выпуклым на (a, b).

Аналогично доказывается теорема для случая f (x) 0.

2.14.3. Точки перегиба. Необходимое условие существования точек перегиба. Достаточное условие

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка графика функции, отделяющая его вы пуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 2 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если x x0 — точка перегиба графика функции, то f (x0) 0.