Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы высшей математики для инженеров 2009

.pdf

Скачиваний:

225

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

10.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 492 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.2. Линейные пространства

1.2.2. Понятие и свойства линейной зависимости векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Выражение вида 1u1 2u2 nun называ ется линейной комбинацией векторов u1, u2 , …, un, где u1, u2 , …, un L,

1, 2, , n R.

Числа 1, 2 , …, n, входящие в линейную комбинацию, называ ются ее коэффициентами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Векторы u1, u2 , …, un называются линейно за висимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю; т. е. если существуют такие коэффициен


ты ,		, …,		, что						0	и 2	2	2	0.
ты ,		, …,	n	, что	u		u		u	0	и 2	2	2	0.
1	2		n	1 1		2 2		n n			1	2	n
В противном случае, т. е. когда
					1									(1)
					1	u1 2u2 nun 0								(1)

только при 1 2 n 0 эти векторы называются линейно неза висимыми.

Так как 0

u1 0 u2 0 un 0, то линейная независимость u1,

1. Векторы 0, u1, u2 , …,M62un линейно зависимы:

, … ,

n означает, что представление (1) единственно.

Свойства линейной зависимости векторов.

u1 0 u2 0 un 0.

2. Если

u1, u2 , …, un L — линейно зависимые, un 1 L, то u1,

, …,

n 1 — линейно зависимые.

Доказательство. u1, …, un — линейно зависимые. Тогда пусть

1u1 2u2 nun 0, например, при 1 0 1u1 2u2 nun

0 un 1 0, 1 0.

3.Если u1, u2 , …, un L — линейно независимые, то хотя бы один

из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

— линейно

зависимые

u1, u2 , …, un

и, например,

2 2

n n

4. Если u1, u2 , …, un L — линейно независимые, а u1, u2 , …, un, un 1 — линейно зависимые, то un 1 является линейной комбинацией.

Доказательство. u1 u2 un un 1 — линейно зависимые тогда существует нетривиальная линейная комбинация 1u12u2 nun n 1un 1, равная нулевому вектору. Если n 1 0, то

12 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1u1 nun 0 и не все коэффициенты нули, что противоречит ли нейной независимости u1, u2 , …, un. Поэтому при n 1 0

un 1

			n
1	u			u	.

n 1	1	n 1		n

1.2.3. Размерность и базис. Разложение вектора по базису

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если в линейном пространстве L существует n линейно независимых векторов, а любые n 1 векторов линейно зави симые, то линейное пространство называется n мерным. Число n на зывается размерностью пространства и обозначается dim L n.

Итак, размерность линейного пространства — это максимальное число линейно независимых векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Если dim L n, то система из n линейно неза висимых векторов e1, e2 , …, en, заданных в определенном порядке, на зывается базисом пространстваM62L.

Теорема 1. Если dim L n; e1, e , …, en — базис L, то u L можно

единственным способом разложить по базису, т. е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

		x1							(2)
	u		e1 x2 e2 xnen, xi R.

Доказательство. Существование разложения. Из определений раз мерности и базиса вытекает, что векторы e1, e2 , …, en — линейно неза висимые, а векторы e1, e2 , …, en, u — линейно зависимые. Поэтому в силу свойства линейной зависимости векторов u является линейной комбинацией e1, e2 , …, en:

u x1e1 x2 e2 xnen.

Единственность разложения. Предположим противное, т. е. пусть есть по крайней мере два разложения:

u x1e1 x2 e2 xnen x1e1 x2 e2 xnen

и, например, x1 x1. Тогда x1 x1 0 и

(x1 x1)e1 (xn xn)en 0,

т. е. e1, e2 , …, en — линейно зависимые. Получили противоречие, так как e1, e2 , …, en — базис. Следовательно, разложение единственно.

1.2. Линейные пространства

Числа x1, …, xn в (2) называются координатами вектора u в базисе e1, e2 , …, en. Мы будем писать u (x1, x2, , xn).

Если u (x1, x2, , xn), v (y1, y2, , yn) то из (2) вытекает, что:

1)u v x1 y1, , xn yn;

2)u v (x1 y1, , xn yn);

3)u ( x1, x2, , xn).

Набор из n координат (x1, x2, , xn) мы можем считать вектором арифметического пространства Rn. Поэтому разложение (2) устанав ливает взаимно однозначное соответствие между произвольным ли нейным пространством L размерности n и Rn. Таким образом, мы мо жем отождествлять различные линейные пространства одинаковой размерности.

Охарактеризуем размерность и базисы в рассмотренных нами при мерах линейных пространств.

1. L R — очевидно, dim R 1 и базис образует любое действитель

ное число 0.			M62 n
1
2. L Rn		— можно показать, что dim Rn				n и базис образуют, на
пример, векторы
		(1, 0, , 0),			(0, 1, , 0),			(0, 0, , 1).
	e			e			e

3. Теорема 2. dim L2 2 и базис L2 образуют любые два неколлинеар2 ных вектора.

Доказательство. Если два вектора a, b коллинеарны, то существу ет действительное число такое, что a b. Следовательно,

ab 0

ивекторы a, b — линейно зависимые. Поэтому два коллинеарных вектора не могут быть базисом в пространстве L2 (на плоскости).

Но на плоскости есть, по крайней мере, два вектора, которые ли нейно независимые и, следовательно, неколлинеарные. Покажем те перь, что любые 3 вектора линейно зависимы. Если среди векторов a, b, c первые два линейно зависимые, то из свойства 2 линейной зави симости вытекает, что и 3 вектора линейно зависимы. Если a, b — ли

нейно независимые, т.е. неколлинеарные, то по теореме 1

c xa yb, xa yb 1 c 0,

и векторы a, b, c — линейно зависимые. Теорема доказана. Аналогично доказывается

Теорема 3. dim L3 3 и базис в L3 образуют любые 3 некомпланарных

вектора.

— единичный.

ванным. Если u E, то вектор

14 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

П р и м е р. Проверить, что векторы a (2, 3), b (1, 2) образуют базис в R2 и найти разложение вектора c (9, 4) по этому базису.

1.3. Евклидовы пространства

Скалярное произведение в линейном пространстве. Длина вектора. Угол между векторами. Ортонормированный базис. Скалярное произ

ведение в L3 .

1.3.1. Скалярное произведение в линейном пространстве. Длина вектора. Угол между векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Скалярным произведением в линейном про странстве L называется числовая функция, определенная для любых пар векторов u, v L, которую обозначим через (u, v), удовлетворяю щая аксиомам:

1)(u, v) (v, u); M62

2)(u1 u2, v) (u1, v) (u , v);

3)( u, v) (u, v); R;

4)(u, u) 0, (u, u) 0 u 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Линейное пространство со скалярным произ ведением называется евклидовым. Евклидово пространство будем обо значать Е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Длиной вектора u E называется неотрица тельное число

|u | (u, u).

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным или нормиро u

|u |

Теорема 1. Для любых 2 векторов u, v E справедливы неравенства:

1)|(u, v)| |u | | v| (неравенство Коши – Буняковского);

2)|u v| |u | | v| (неравенство треугольника).

Доказательство. 1. Рассмотрим неотрицательную числовую функ цию параметра t

0 f (t) tu v 2 (tu v, tu v) t2|u |2 2(u, v)t | v|2 .

1.3. Евклидовы пространства

Так как это есть квадратный трехчлен, неотрицательный для t R, то его дискриминант неположителен:

D 4(u, v)2 4|u |2 | v |2 0.

Отсюда вытекает неравенство Коши – Буняковского |(u, v)| |u | | v| .

2. Из свойств скалярного произведения и неравенства 1)

|u v|2 (u v, u v) |u |2 2(u, v) | v|2 |u |2 2|u | | v| | v|2 (|u | | v|)2.

Поэтому

|u v| |u | | v|.

Неравенство Коши – Буняковского равносильно неравенствам
1	(			,						)	1,
		u						v

\|					\|	\|			\|
			u				v

которые позволяют дать определение 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Если u, v E, то

M6cos (u,^v) (u2, v) .

|u | | v|

1.3.2. Ортонормированный базис

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Будем говорить, что n векторов e1, e2 , …, en в n мерном пространстве Е образуют ортогональный базис, если они нормированные и попарно ортогональны, т. е.

	1,	i k,
(ei, ek)		i k.
	0,	i k.
Для того чтобы данное определение было корректным, необходи

мо доказать, что входящие в определение векторы e1, e2 , …, en действи тельно образуют базис, т. е. линейно независимы. Покажем, что ра венство

1							(1)
	e1 2 e2 nen 0

возможно лишь при 1 2 n 0. Умножая обе части равенст ва (1) скалярно на e1, получаем

1(e1, e1) 2 (e1, e2) n (e1, en) 0,

\| \|	\| \|	\| \|
1	0	0

т. е. 1 0. Аналогично показывается, что и остальные коэффициенты равны 0.

16 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Можно доказать, что, используя любую систему из n линейно не зависимых векторов, можно построить ортонормированный базис n мерного евклидова пространства. Процесс ортогонализации произ вольной независимой системы был предложен немецким математиком Шмидтом (начало XX в.).

Выясним, какие удобства имеет ортонормированный базис по сравнению с неортогональным.

Теорема 2. Если e1, e2 , …, en — ортонормированный базис простран2 ства Е, то относительно этого базиса:

1)скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат;

2)координаты вектора равны скалярным произведениям этого век2 тора на соответствующие базисные векторы.

Доказательство. 1. u x1e1 xnen, v y1e1 ynen, следова тельно,

(u, v) (x1e1 xnen, y1M62e1 ynen) x1y1(e1, e1) x2 y1(e2, e1)

xn y1(en, e1) x1y2(e1, e ) x2 y2(e2, e ) xn y2(en, e2)

x1yn(e1, en) x2 yn(e2, en) xn yn (en, en) x1y1 x2 y2 xn yn,

		\| \|
так как		1

(		при i j;
	eiej) 0,
(		при i j.
	eiej) 1,

Итак,

(u, v) x1y1 x2 y2 xn yn.

2. Умножая обе части равенства u x1e1 x2 e2 xnen на вектор e1 скалярно, получим

(u, e1) x1(e1, e1) x2(e2, e1) xn(en, e1) x1,

так как (e1, e1) 1.

Аналогично показывается, что

x2 (u, e2), , xn (u, en).

Скалярное произведение вектора u на вектор e единичной длины ес тественно назвать проекцией вектора u на вектор e.

1.3. Евклидовы пространства

Доказанное утверждение означает, что в ортонормированном ба зисе координаты вектора являются проекциями этого вектора на ба зисные.

Следствие. Если в ортонормированном базисе

(x1, x2, , xn),

(y1, y2, , yn),

то

x1y1 x2 y2 xn yn

|u |

cos (u, v)

x12 xn2 y12 yn2

1.3.3. Скалярное произведение в L3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.

Скалярным

произведением

двух векторов

называется число (

) |

| cos (

,^b

, b

| |b

Проверим выполнение аксиом скалярного произведения.

1. (

) — очевидно.

) (b

2. (a1 a2, b)

M62

, b)

(a1, b)

(a2, b) | a1 a | |b| cos (a1 ^a2

| |b| cos (

b) |

a1| |b| cos (a1, b) | a2

a1 a2| cos (a1 a2, b)

(2)

a1| cos (a1, b) | a2| cos (a2, b).

Произведение | a| cos (a, b) назовем проекцией вектора a на вектор b (pис. 1.6).

Тогда (2) немедленно вытекает из рис. 1.6 и равенства

npb(a1 a2) npb a1 npb a2.

3.	( a, b) (a, b) — доказать		самостоя
тельно, разбирая отдельно случаи 0, 0.
4.	(a, a) \| a\|2 0,	a 0.	Pис. 1.6
Пространство L3		с введенным скаляр

ным произведением обозначим через R3. Пусть i, j, k — ортонормированный

базис в R3; 0, i, j, k — прямоугольная сис тема координат (pис. 1.7),

|i | | j| | k | 1,

i j, j k, k i. Pис. 1.7

Рис. 1.8

18 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Координаты вектора a (x, y, z) — это проекции a на оси ко ординат.

Основные формулы в координатах:

(x1, y1, z1), b (x2, y2, z2)

(

, b

) x1x2 y1y2 z1z2;

| x2

z2 ;

x x

y y

z z

cos (

, b)

1 2

x12 y12 z12 x22 y22 z22

x1x2 y1y2 z1z2 0;

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) | M1M2|

(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 .

Задача. Доказать, что диагонали четырехугольника с вершинами

A(1, 2, 3), B(7, 3, 2), C ( 3, 0, 6), D(9, , 4) перпендикулярны.
	Решение.		M62

	AC ( 4, 2, 3),	BD (2, 1, 2) (AC, BD) 8 2 6 0 AC BD.

1.4. Векторное и смешанное произведение

Определение и свойства векторного произведения. Приложения век торного произведения. Определение и свойства смешанного произве дения. Приложения смешанного произведения.

1.4.1. Определение и свойства векторного произведения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.

Векторным произведением векторов

, b на

зывается вектор

такой, что:

| |

| |b

| sin (

, b),

образуют правую тройку, т. е. если смот

, b

реть с конца вектора c, то кратчайший поворот от a к b происходит против часовой стрелки (pис. 1.8).

1.4. Векторное и смешанное произведение

О б о з н а ч е н и е:

c [a, b] a ! b.

Свойства векторного произведения:

1) [a, b] 0 a, b — коллинеарные.

Доказательство:

[a, b] 0 sin (a, b) 0 a b a, b

— коллинеарные;

2) [a, b] [b, a] — вытекает из рис. 1.9; 3) примем без доказательства:

[a1 a2, b] [a1, b] [a2, b].

4) [ a, b] [a, b] [a, b] — доказать само стоятельно.

Вычисление векторного произведения в прямоугольной системе координат

Имеем очевидные равенства (pис. 1.10):

[k, j]

[ j, i] k,

M62i, [i, k] j.

[i, i] 0,

[ j, j] 0,

[k,

k] 0,

[i, j] k,

[ j, k] i,

[k, i] j,

Если

x1i y1 j z1k,

x2i y2 j z2 k,

Рис. 1.9

Рис. 1.10

то, используя векторные произведения базисных векторов и свойст ва 3), 4), получим

[a1, b] [x1i y1 j z1k, x2i y2 j z2 k] x1x2[i, i] y1x2[j, i] z1x2[k, i]

x1y2[i, j] y1y2[j, j] z1y2[k, j] x1z2[i, k] y1z2[j, k] z1z2[k, k]

(y1z2 z1y2)i (z1x2 x1z2) j (x1y2 x2 y1)k

y1 z1

x1 z1

y2 z2

x2 z2

20 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Итак, если a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2), то

ij k

[

, b] x1

z1 .

1.4.2. Приложения векторного произведения

1. Вычисление площадей параллелограмма и

треугольника

(pис. 1.11):

Sпар |

| sin (

,^b

)| |[

| |b

]|,

Sтр

Sпар

]|.

, b

Рис. 1.11

aколлинеаренM62b [a, b] 0.

3.Векторное произведение позволяет по двум заданным векторам

указать вектор, им перпендикулярный.

Задача. Найти площадь параллелограмма, построенного на векто2. Векторное произведение позволяет проверить коллинеарность

рах a 2m n, b m 2n, если |m| | n| 1, (m, n) 30".

Решение. Sпар |[a, b]|. Используя свойства векторного произведе ния, получим

[a, b] [2m n, m 2n] 2[m, m] [n, m] 4[m, n] 2[n, n]

[m, n] 4[m, n] 3[m, n].

Поэтому

	^	3

Sпар \|[a, b]\| 3\|[m, n]\| 3\|m\| \| n\| sin (m, n)			.
		2

1.4.3. Определение и свойства смешанного произведения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число a, b, c, равное

a, b, c ([a, b], c).

<<< < Предыдущая 12 / 492 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2015220.23 Кб63опытная забивка свай.docx
#
29.03.20153.18 Mб281Организация работы по ДТП.docx
#
03.05.20151.72 Mб50Основания и фундаменты.pdf
#
21.11.2018100.35 Кб7Основные инструменты ТРИЗ.doc
#
12.03.20168.49 Mб268Основы архитектуры Лекции Презентация.pdf
#
12.03.201610.04 Mб225Основы высшей математики для инженеров 2009.pdf
#
14.11.2019109.06 Кб1Основы предпр_АСУ очка.doc
#
01.09.201963.34 Кб2основы предпринимательства.docx
#
24.12.201850.18 Кб7ОСНОВЫ СЕРТИФИКАЦИИ.doc
#
24.12.201859.9 Кб6ОСНОВЫ СТАНДАРТИЗАЦИИ.doc
#
12.03.2016155.69 Кб143ответики иогп .docx