Основы высшей математики для инженеров 2009

2.19.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен Pn(x) будем искать в виде

Pn(x) c0(x x1)(x x2) (x xn) c1(x x0)(x x2) (x xn)

(4) — интерполяционный многочлен Лагранжа.

П р и м е р 1. x0 0, x1 1, x2 2; y0 3, y1 4, y2 15. P2(x) 5x2 4x 3.

2.19.3. Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть вновь известны значения y0, y1, …, yn функции f (x) в узлах интерполяции x0, x1, …, xn, причем узлы интерполяции равно отстоят друг от друга на расстояние h (шаг интерполяции):

x0, x1 x0 h, x2 x1 h x0 2h, , xn x0 nh. Введем понятие конечных разностей k го порядка.

142 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Это диагональная таблица разностей с шагом h. Покажем, как состав ляется интерполяционный многочлен Ньютона.

Для двух узлов (x0, x1; y0, y1)

Оценим ошибку, которую мы допускаем, пользуясь приближенным равенством

З а м е ч а н и е 1. Справедливо следующее утверждение: если разности n го порядка для функции f(x) постоянны, то эта функция — многочлен n й степени. Таким образом, в этом случае имеет место точное равенство f(x) Pn(x).

За м е ч а н и е 2. Для одних и тех же равноотстоящих узлов интерполя ции многочлены Лагранжа и Ньютона совпадают, хотя они записаны в разной форме.

За м е ч а н и е 3. Интерполяционный многочлен Ньютона в настоящее время очень широко используется при разработке численных методов ре шения дифференциальных уравнений для записи производных в конеч ных разностях и при аппроксимации граничных условий.

Пр и м е р 2. Для примера 1 составить многочлен Ньютона.

144 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.19.4. Численное дифференцирование

Пусть значения некоторой неизвестной функции f (x) заданы таб лицей и требуется найти значение производной этой функции в неко торой точке x. Поступают следующим образом: составляют многочлен

где t x x0 . h

По правилу дифференцирования сложной функции

Аналогичные формулы можно записать для производных высшего по рядка.

Пр и м е р 3. Вычислить f (0,5).

За м е ч а н и е. Чем выше порядок производной, тем более высокого порядка разности участвуют в ее вычислении, и тем больше ошибка.

ГЛАВА 3

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Неопределенный интеграл и его свойства. Основные методы интегрирования

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основ ных интегралов. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Ос новные методы интегрирования.

Интегральное исчисление — раздел математики, в котором изуча ются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. Инте гральное исчисление непрерывно связано с дифференциальным ис числением и составляет вместе с ним основу математического анали за. Основные понятия и теория дифференциального и интегрального исчислений, прежде всегоM62связь операций дифференцирования и ин тегрирования, а также их применения к решению прикладных задач, были разработаны в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница в конце XVII в. Их исследования явились началом интенсивного развития математи ческого анализа. Существенную роль в его создании в XVIII в. сыгра ли работы Л. Эйлера, Я. и И. Бернулли, Ж. Лагранжа. В XIX в. в связи с появлением понятия предела интегральное исчисление приобрело логически законченную форму.

С помощью интегрального исчисления стало возможным решать единым методом многие теоретические и прикладные задачи, как но вые, которые ранее не поддавались решению, так и старые, требовав шие прежде специальных искусственных приемов.

Основными понятиями интегрального исчисления являются два тесно связанных понятия интеграла: неопределенного и определенного.

3.1.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Основная задача дифференциального исчисления состояла в оты скании по функции f (x) ее производной f (x). Однако часто приходит ся решать обратную задачу: для данной функции f (x) найти такую функцию F(x), что

Иногда задача ставится в равносильной форме: по функции f (x) найти такую функцию F(x), что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция F(x) называется первообразной от функции f (x) на [a, b], если эти функции связаны соотношениями (1) или (2) на [a, b].

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом отрезке первообразную.

Теорема 2. Если функция F(x) есть первообразная от функции f (x) на [a, b], то всякая другая первообразная F1(x) от этой функции на [a, b] отличается от F(x) на постоянную, т. е.

F1(x) F(x) C, C const.

Доказательство. Пусть F1(x) и F(x) — первообразные для f (x) на [a, b]. Тогда F1(x) F(x) на [a, b]. Но если две функции на отрезке [a, b] имеют равные производные, то их разность есть величина посто

бесконечно много и все первообразныеM62функции f (x) отличаются на произвольную постоянную.

янная. Таким образом, F1(x) F(x) C, F1(x) F(x) C.

Итак, если функция f (x) имеет первообразную, то она имеет их

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если F(x) есть первообразная от функции f (x), то выражение F(x) C, где С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается симво

f (x) — подынтегральная функция, f (x)dx — подынтегральное выраже ние, x — переменная интегрирования. Действие отыскания неопреде ленного интеграла от функции f (x) называется ее интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.

1.(D f (x)dx) f (x).

2.d(D f (x)dx) f (x)dx.

3.DdF(x) F(x) C.

Действительно, dF(x) f (x)dx. Поэтому последнее равенство совпадает с (3). Например, Ddx x C, Dd(tg x) tg x C.

3.1.2. Таблица основных интегралов

1. D xndx xn 1 C.

n 1

2.D dxx ln | x| C.

3.Dsin x dx cos x C.

4.Dcos x dx sin x C.

5.D cosdx2 x tg x C. M62

6.D sindx2 x ctg x C.

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственным дифференцированием.

3.1.3.Некоторые свойства неопределенного интеграла

1.D[f (x) / ((x)]dx D f (x)dx / D((x)dx.

Доказательство. Найдем производные от левой и правой частей:

f (x) / ((x) f (x) / ((x).

2. Dkf (x)dx kD f (x)dx.

3. Если D f (x)dx F(x) C, то

D f (ax b)dx 1 F(ax b) C.

a

3.1.4. Основные методы интегрирования

Метод разложения состоит в разложении подынтегральной функ ции на сумму функций, от каждой из которых интеграл берется.

Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки).

Иногда удобно вместо переменной интегрирования x ввести новую пе ременную t. Пусть новая переменная введена по правилу x ((t), где ((t) — непрерывно дифференцируемая функция, имеющая непрерыв ную обратную. Покажем, что имеет место равенство