Основы высшей математики для инженеров 2009

2.2.4. Верхние и нижние грани множеств

Если произвольное множество действительных чисел Е конечно,

то среди его элементов есть наибольший (max E) и наименьший

x E

(min E). Однако это не всегда так, если Е — бесконечное множество.

x E

Например,

E (a, b),

N {1, 2, 3, }.

Возникает вопрос о введении в Е чисел, которые заменяли бы по возможности max E и min E. Такими числами (конечными или беско нечными) являются точная верхняя грань

sup E sup x M

x E

и точная нижняя грань

inf E inf x m.

всамом деле:

1)n 1 n; n 1

Рис. 2.1

Всякое множество F имеет точные верхнюю и нижнюю границы. Ес2 ли Е ограничено сверху, то sup E ; если не ограничено, то sup E . Аналогично, если Е ограничено снизу, то inf E ; если не ограничено

снизу, то inf E .

72 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.2.5. Теорема Больцано – Вейерштрасса

Пусть задана произвольная числовая последовательность {xn}. Выбе рем из нее бесконечное множество элементов с номерами n1 n2 . Тогда получим новую последовательность{xnk }, которая называется под последовательностью {xn}. Если {xn} сходится к конечному числу или к /, то, очевидно, любая подпоследовательность также сходится к тому же числу.

Последовательность {xn} {1, 1, 1, } не сходится. Однако ее под последовательность {1, 1, 1, …} сходится к 1.

Теорема. Из всякой ограниченной последовательности {xn} можно вы2 делить подпоследовательность {xnk }, сходящуюся к некоторому числу.

2.3. Функции. Предел функции

му закону поставлено в M62 на множестве Е задана однозначная функция

Функция: определение, способы задания. Предел функции. Основные

теоремы о пределах.

1. Пусть Е — множество чисел и пусть каждому x E по некоторо соответствие одно число y, тогда говорят, что

y f (x).

Множество Е называется областью задания или определения f (x). x — независимая переменная, y — зависимая.

Множество E1 всех значений y f (x), где x E, называется обра зом множества Е, или областью значений.

Если

Функция может быть задана графически, аналитически или табли цей. Функция y f (x) называется четной, если f ( x) f (x). Ее график симметричен относительно оси OY. Функция y f (x) нечетна, если f ( x) f (x). Ее график симметричен относительно биссектрисы 1 го и 3 го координатных углов.

Функция f (x) называется периодической (с периодом T 0), если f (x T) f (x) x.

2. Важнейшим средством изучения функции является понятие предела, являющееся основным понятием математического анализа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число А называется пределом функции f (x) в точке a, если она определена в некоторой окрестности a, за исклю чением, может быть, самой точки a, и если для всякого, сколь угодно малого положительного числа 1 0 можно окружить точку а интерва

Смысл этого определения в следующем: если x приближается к a по любому закону, оставаясь не равным a, то соответствующее значение f (x) становится сколь угодно близким к А.

M62

Рис. 2.2

лом функции f (x) при x , т. е. A lim f (x), если 1 0 M 0:

x

| f (x) A | 1 x: | x | M.

74 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

3. Изучим теперь свойства функций, имеющих предел.

Теорема 1. Если lim f (x) A, где А — конечное число, то в некото2

x a

рой окрестности точки a функция f (x) ограничена, т. е. существует чис2 ло M 0 такое, что | f (x)| M x u(a), x a.

при 2 x a 2. При достаточно малом 1 A 1 0, следовательно, y 0. Получили противоречие.

Получили противоречие.

2.4. Непрерывность функции

Определения непрерывности функции. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

2.4.1. Определения непрерывности функции

Рассмотрим функцию y f (x), рис 2.4. Пусть -x — приращение независимой переменной. Тогда

-f -y f (x0 -x) f (x0)

— приращение функции в точке x0, соответствующее приращению аргумента -x.

Пусть -x 0, тогда для рассматриваемой функции -y 0. Рассмотрим функцию y F(x), рис. 2.5. Здесь F(x0) AB. Пусть

-x 0, но

-F M62F(x0 -x) F(x0) / 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция y f (x), заданная на [a, b], называ ется непрерывной в точке x0 [a, b], если приращение ее в этой точке, соответствующее -x, стремится к нулю при любом способе стремле ния к нулю -x, т. е.

-x 0

Если для функции f (x) не выполнено условие (1), то она называется разрывной в точке x.

Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), назы вается непрерывной на этом отрезке (интервале).

Положим x x0 -x. Тогда получим следующее эквивалентное оп ределение непрерывности функции f (x) в точке x0.

2.4.2. Первый замечательный предел

Теорема.

lim sin x 1.

Неравенства (3) верны и для ' x 0, так как cos x и sin x четные

Теорема доказана.

2.4.3. Второй замечательный предел

Теорема.

Доказательство. Было установлено, что

78 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

где n — целые числа. Пусть x , принимая как целые, так и дроб ные значения.

lim (1 ))) e.

) 0

2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции и их свойства. Теоремы о пределах функ ций. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми.

2.5.1. Бесконечно малые функции и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция ) )(x) называется бесконечно ма

т. е. 1 0 2 0: |)(x)| 1 | x a | 2.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Докажем теорему для случая двух слагаемых.

Пусть 2 min (21, 22). Имеем:M62 2

|u | |)(x) *(x)| |)(x)| |*(x)| 1 x : | x a | 2.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции ) )(x) на огра2 ниченную функцию z(x) при x a есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Для M 0 окрестность точки a такая, что

| z| M x : | x a | 21.

1 M 1 x : | x a | 2.

M

Следствие 1. Если lim )(x) 0, lim *(x) 0, то lim )(x) *(x) 0, так как *(x) — величина ограниченная. Это справедливо для любого ко нечного числа сомножителей.

Теорема 3. Частное )(x) от деления бесконечно малой функции )(x) z(x)

на z(x), предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

80 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.5.2. Теоремы о пределах функций

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа слагаемых