Основы высшей математики для инженеров 2009

1)a, b, c 0 a, b, c образуют правую тройку;

2)a, b, cb, c, ac, a, b — это вытекает из геометрическо го смысла смешанного произведения;

3)a, b, cb, a, cc, b, a — доказать самостоятельно.

1.4.4.Приложения смешанного произведения

1.Вычисление объемов параллелепипеда и пирамиды:

Vпар a, b, c,

22Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

2.Смешанное произведение позволяет проверить компланарность трех векторов:

a, b, c компланарны Vпар 0 a, b, c 0.

3. Смешанное произведение позволяет выяснить, когда 4 точки лежат в одной плоскости:

A (x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C (x3, y3, z3), D(x4, y4, z4) лежат в од

ной плоскости AB, AC, AD — компланарны

Векторное и смешанное произведение применяются в механике и физике. Поэтому очень важно в совершенстве овладеть этими поня тиями.

1.5. ПрямаяM62и гиперплоскость

Прямая в Rn. Гиперплоскость в Rn. Взаимное расположение прямой и ги перплоскости. Расстояние от точки до гиперплоскости.

1.5.1. Прямая в Rn

Будем рассматривать n мерное пространство действительных чисел Rn{x} x (x1, x2, , xn), xi R}

со стандартным ортонормированным базисом

e1 (1, 0, , 0), e2 (0, 1, , 0), , en (0, 0, , 1) и скалярным произведением

(x, y) x1y1 x2 y2 xn yn.

Вектор с координатами (0, 0, …, 0) назовем точкой 0. Эта точка вме сте с базисом, отложенным от этой точки, будут образовывать пря

вектор 0M (x1, x2, , xn).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямой l в пространстве Rn, проходящей через точку M0 параллельно вектору a, называется множество всех точек M Rn, для которых вектор M0M коллинеарен a (pис. 1.13).

M(x1, x2, , xn) l M0M || a

M0M ta rM rM 0 ta.

Выражая из каждого уравнения параметр t, получим канонические уравнения

Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M0(1, 1) параллельно a (1, 0).

Решение. Напишем каноническое уравнение

x 1 y 1 y 1 0.

10

Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через две точ ки M1(x1, y1), M2(x2, y2).

Решение. Вектор M1M2 (x2 x1, y2 y1) можно взять в качестве направляющего, поэтому уравнение имеет вид

24 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.5.2. Гиперплоскость в Rn

Пусть в Rn заданы точка M0(x10, , xn0) и вектор

n (A1, A2, , An).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Гиперплоскостью ' в Rn, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n, называется множество всех

угол между их нормальными векторами n1, n2 :

x C ; A

2) В 0 y A x C kx b; y kx b — уравнение прямой с

BB

угловым коэффициентом (pис. 1.16).

26 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.5.3. Взаимное расположение прямой и гиперплоскости

Даны прямая l, проходящая через точку M0(x10, x20, , xn0) парал

лельно вектору a (a1, a2, , an), и гиперплоскость ': A1x1 A2 x2

An xn b 0 с нормальным вектором n (A1, A2, , An).

1. Прямая l и гиперплоскость ' пересекаются в одной точке, если прямая не параллельна плоскости, т.е. (a, n) 0.

Точку пересечения гиперплоскости и прямой M1 можно найти, ре шив линейную систему из n 1 уравнения с n 1 неизвестными x1,

* ' ) ' * sin ) cos * | cos *|.

22

* ' ) * ' sin ) cos * | cos * |.

Умение аналитически описывать прямую и плоскость дает воз можность моделировать эти геометрические объекты, не прибегая к их натуральному воспроизведению.

28 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.6. Матрицы и операции над ними

Основные определения. Операции над матрицами. Определитель квадратной матрицы. Обратная матрица.

1.6.1. Основные определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей A размера m ! n называется прямо угольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах

Числа aij (i 1, , m; j i, , n) называются элементами матри цы A. Первый индекс i указывает номер строки, а второй j — номер столбца, на пересечении которыхM62расположен элемент aij . Сокращен ное обозначение матрицы A (aij)m!n. Матрица A (aij) размера n ! n называется квадратной. Матрица размера m !1 называется вектором столбцом:

a1

Aa2 .

am

Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0. Единичная матрица порядка n — это квадратная матрица n го поряд ка вида

0 0 1

Понятие матрицы оказалось очень удобным для компактной за писи и обработки объемной информации. Матрицы и матричные обозначения применяются почти во всех разделах математики и, в частности, в теории линейных систем, численных методах, диф ференциальных уравнениях, теории вероятностей. Понятие матрицы было введено в работах английских математиков У. Гамильтона

и А. Кэли в середине XIX в. Основы теории созданы немецкими ма тематиками К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (вторая половина XIX в. и начало ХХ в.)

1.6.2.Операции над матрицами

1.Равенство матриц.

2. Сложение матриц.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Суммой двух матриц A (aij)m!n и B (bij)m!n одинаковых размеров называется матрица C (cij)m!n A B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij aij bij .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Произведением матрицы A (aij)m!n на числоR называется матрица B (bij)m!n A, элементы которой опреде ляются равенствами bij aij .

4. Умножение матриц.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Произведением матрицы A (aij)m!k на мат

рицу B (bij)k !n называется матрица C (cij)m!n A B размера m ! n, элементы которой cij определяются равенством

cij ai1b1j ai2b2 j aikbkj.

Таким образом, элемент матрицы C A B, расположенный в i й строке и j м столбце, равен сумме произведений элементов i й строки матри цы A на соответствующие элементы j го столбца матрицы B. Например,

30 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

т. е. произведение матриц не обладает свойством коммутативности.

5. Транспонированные матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через A . Например,

1.6.3. Определитель квадратной матрицы

Определитель (число) квадратной матрицы порядка n A (aij)n!n обозначается символами

Вычисление определителя будет дано индуктивно по порядку матри цы. Для матрицы 2 го порядка ее определитель положим равным