Основы высшей математики для инженеров 2009

62 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Итак, после поворота (3) квадратичная форма (2) запишется в виде

1(x )2 2(y )2,

где 1, 2 — собственные значения оператора А, и мы свели задачу к уже рассмотренному частному случаю.

П р и м е р. Привести к каноническому виду уравнение кривой

3. С помощью матрицы поворота В осуществим в уравнении кри вой переход от старых координат к новым, используя (3):

ГЛАВА 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Введение в математический анализ

Элементы теории множеств. Действительные числа. Понятие предела числовой последовательности. Арифметические действия с последо вательностями, имеющими предел.

Математический анализ — часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются на основе теории пределов. В него входят дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференци альных уравнений с частными производными и т. д. Современная тео рия чисел и теория вероятностейM62применяют и развивают методы ма тематического анализа.

Все же термин «математический анализ» часто употребляется для наименования только основ математического анализа, объединяющих в себе теорию действительного числа, теорию пределов, теорию рядов, дифференциальное и интегральное исчисление и их непосредствен ные приложения.

При изучении явлений природы и общества, технических процес сов мы сталкиваемся с изменением величин, с функциональной зави симостью одной из величин от другой. Поэтому понятие о перемен ной величине является основным в математическом анализе, отсю да — его объективная важность как средства изучения функций.

Под переменной величиной мы будем понимать величину, которая принимает хотя бы два различных значения. Величина, которая не ме няет своего значения, называется постоянной.

2.1.1. Множества вещественных чисел

Основным в математике является также понятие множества, т. е. совокупности каких либо объектов произвольной природы. Объекты, входящие в данное множество, будем называть элементами множества.

Обозначения: множества A, B, …, X, Y, элементы a, b, …, x, y, x A (x принадлежит А), A , B (А — подмножество В), 0 — пустое множество.

Множество натуральных чисел N {1, 2, …, n, …} появилось в свя зи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики, развития самой математики были введены целые числа Z {…, –1,

m#

0, 1, …} и рациональные числа Q $, где m, n Z, n 0, причем

n%

дробь m несократима. Введение рациональных чисел, однако, не ре n

шило важной практической задачи измерения отрезков. Например, диагональ квадрата со стороной 1 есть 2. В связи с этим появились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа назы ваются действительными или вещественными.

Неравенства для абсолютных величин.

Неравенство | a| 1 эквивалентно неравенствам 1 a 1, если

a (a b) b | a | | a b| |b| | a b| | a | |b|.

Отрезок, интервал, ограниченное множество.

Пусть числа a, b удовлетворяют неравенству a b. Множество x : a x b — отрезок [a, b].

Множество x : a x b — интервал (открытый отрезок) (a, b). Множества x : a x b, a x b — полуинтервалы.

Часто встречаются бесконечные интервалы: [a, ) (a, ), ( , ). Произвольный интервал (a, b), содержащий точку c: a c b, называ ется окрестностью с. В частности, интервал c 1, c 1) (1 0) 1 — ок рестность c.

Пусть X {x} — произвольное множество действительных чисел. Говорят, что X ограничено сверху, если существует ( ) действительное

66 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

число М такое, что для любого ( )x X : x M, и ограничено снизу, если m: x X x m. Множество Х ограничено, если оно ограниче но и снизу, и сверху, т. е. M : x X | x| M.

2.1.2. Понятие предела числовой последовательности

Пусть натуральному числу n 1, 2, … по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие действительное число xn. Тогда го ворят, что задана числовая последовательность x1, x2,

{xn} {x1, x2, }.

Говорят также, что переменная xn пробегает значения последователь но {xn}.

П р и м е р ы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число a называется пределом последователь ности {xn}, если 1 0 зависящее от 1 положительное число N0 N0(1) такое, что | xn a | 1 для всех n N0. Символически сходи мость последовательности {xn} к числу а записывается равенством

Поэтому lim 1 0.

n n

68 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.2.Числовые последовательности

Онеопределенностях. Монотонные последовательности. Число å. Верх няя и нижняя границы множеств. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

2.2.1M62. О неопределенностях

При изучении теорем о пределах последовательностей мы не рас сматривали последовательности, имеющие бесконечно большие пре делы, а также случай, когда при отыскании предела частного предел стоящей в знаменателе последовательности равен нулю.

Рассмотренные примеры показывают, что сумма двух бесконечно больших последовательностей разных знаков может стремиться к лю бому числу, к бесконечности, а также вообще не иметь предела.

В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида ( , ). Аналогично могут встречаться другие неопределенности: