Основы высшей математики для инженеров 2009

92 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Вчастности,

8.(ln x) 1 . x

2.8. Производные сложных,M62обратных, логарифмических функций

Производная сложной функции. Обратная функция и ее производная. Про изводные элементарных функций и степенно показательных выражений.

2.8.1. Производная сложной функции

Теорема. Если функция u ((x) имеет производную в точке x, а функ2 ция y f (u) — в точке u, то сложная функция y F(x) f [((x)] имеет производную по x в точке x и F (x) f (u)((x).

При -x 0, -u 0 (в силу непрерывности ((x), как имеющей произ водную). Поэтому yx yu ux.

Таким образом, производная сложной функции равна произведе нию производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

2.8.2. Обратная функция

Рассмотрим функцию y x3, x [ 1, 2] (рис. 2.16). Область значе ний этой функции есть отрезок [–1, 8]. Функция x 3y, отображаю щая отрезок [–1, 8] в [–1, 2], называется обратной к функции y x3. Некоторые функции не имеют обратных. Например, y x2 , при x ( , ), т. к. каждому значению y 0 соответствуют два значения

x /y. Если y f (x), то обратную функцию можно обозначить через x f 1(y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y f (x) называет ся возрастающей на некотором сегменте (или ин тервале), если для x2 x1 f (x2) f (x1). Функция y f (x) называется убывающей, если для x2 x1 f (x2) f (x1).

Теорема существования обратной функции. Если y f (x) непрерывна на [a, b] и монотонна на нем, то на соответствующем сегменте оси OY существует обратная функция x f (y), которая также является не2 прерывной монотонной функцией.

Производная обратной функции.

Теорема. Пусть y f (x) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке x производную f (x) 0. Тогда обратная функция дифференцируема, и

[f 1(y)] 1 . f (x)

Доказательство. Так как y f (x) монотонна, дифференцируема (а значит, непрерывна), то x f 1(y) существует, монотонна и непре рывна. Зададим -y 0, тогда x f 1(y) получит приращение -x, кото рое в силу монотонности отлично от нуля. Так как x f 1(y) непре

-x

96 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

где А — постоянное число, не зависящее от -x, а )(-x) — бесконечно малая более высокого порядка, чем -x, т. е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если приращение функции y f (x) в точке x может быть представлено в виде (1), то главная часть A-x, линейная относительно -x, называется дифференциалом функции.

С и м в о л и к а: dy A-x или d(f (x)) A-x. Приращение независи мой переменной -x называется ее дифференциалом: -x dx.

2.9.2. Связь между существованием производной и существованием дифференциала функции

следовательно, по определению f (x) имеет в точке x дифференциал d(f (x)) f (x)-x.

Теорема 2. Если f (x) имеет в точке x дифференциал, то она имеет в этой точке и производную.

Доказательство. -y A-x )(-x) -y A )(-x)

Итак, dy f (x)-x f (x) dx. Следовательно, f (x) dy, т. е. производ dx

ная равна отношению ее дифференциала к дифференциалу независи мой переменной.

З а м е ч а н и е. На основании вышеизложенного можно ввести второе определение производной как отношение дифференциалов:

y 4x5 dy . dx

2.9.3. Свойства дифференциала

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые функции. Тогда d(u v) du dv,

d(uv) udv vdu,

2.9.4. Дифференциал сложной функции

Таким образом, дифференциал сложной функции y f [((t)] имеет тот же вид dy f (x)dx, какой он имел бы в случае, если бы промежу

довательно, dy cosudи cosx d(x).

Пусть на интервале (a, b) задана f (x). Ее производная, если она су ществует на (a, b), есть некоторая функция f (x). Производная от f (x) называется второй производной и обозначается f (x):

f (x) (f (x)) или y (y ) .

Вообще, производной от функции f (x) порядка n называется первая производная от производной от f (x) порядка n 1: f (n)(x) [f (n 1)(x)] .

Для ее существования необходимо существование f (n 1) не только

вточке x, но и в ее некоей окрестности.

Пр и м е р ы. (ex)(n) ex;

(sin x) cos x, (cos x) sin x, (sin x) sin x, (sin x) cos x, .

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим функцию y f (x); dy f (x)dx. Величину приращения -x dx можно выбирать независимо от точки x. Поэтому dy можно

считать функцией только M62от x. Дифференциал от dy называют вторым

дифференциалом или дифференциалом второго порядка: d2 y d2 f (x), d2 y d(dy).

d2 y d[f (x)dx] [f (x)dx] dx f (x)dx dx f (x)(dx)2.

dn y d(dn 1y) f (n)(x)(dx)n f (n)(x)dxn.

Поэтому

f (n)(x) dn y . dxn

Последняя формула (для n 1) справедлива только в том случае, когда f (x) не является сложной функцией, т. е. только тогда, когда x — неза висимая переменная. Т. е. здесь свойство инвариантности не имеет

100Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.9.7.Дифференцирование параметрически заданных функций

x ((t),

t (a, b).

y >(t),

Будем предполагать, что существует обратная функция от x ((t):

2.10. Некоторые теоремы Ролля, Лагранжа, Коши о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля о нулях производной. Теорема Лагранжа о конечных при ращениях. Теорема Коши об отношении приращений двух функций.

2.10.1. Теорема Ролля о нулях производной

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах отрезка обращается в нуль (т. е. f (a) f (b) 0), то внутри отрезка [a, b] существует по крайней мере одна точка С такая, что f (c) 0.

(Между двумя нулями дифференцируемой функции есть нуль произ2 водной.)

Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения М и наимень шего значения m.

Если M m, то f (x) 0 для x [a, b] f (x) 0 для x.