doc2
.pdf48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
851 |
Кинетическая энергия электромеханической системы равна сумме кинетической энергии механической части Т\ и электрокинетической энергии Т2 электрической цепи:
где 7J = г М с 2 |
; |
T2 = |
^L(x)q2. |
2 |
|
' * |
2 |
С учетом указаний к задаче
7] Л л / 4 2 ,
T2=±(L0 + L®q2.
Тогда
Найдем производные по времени от частных производных кинетической энергии по обобщенным скоростям х = —at(х0 + = ^ и q:
|
|
djdT_ |
|
|
tf'U |
d(dT |
= Loq + Liiio + Ш |
|
dt |
|
|
Эq |
||
и частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам:
g . f W .
dt, дх
Эq Определим обобщенные силы:ЯЛ
ox
qq = = = Е-Щ0 +ё).
5q
852 |
XI. Аналитическая механика |
Подставим выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил Qx и Qq в уравнения (1) и (2) и получим дифференциальные уравнения, описывающие состояние электромеханической системы:
или |
|
|
|
|
|
Ml-^L№-cx0+c% |
= Mg, |
(3) |
|
|
Ь0ё+Ц |
+ Ri0+Re = Е. |
(4) |
|
Так как начало отсчета взято в положении равновесия, то |
|
|||
- |
л |
. . . |
£ |
|
|
|
|
R |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
E = Ri0, |
сх0 = Mg+^Liil |
(5) |
|
Подставим выражения (5) в дифференциальные уравнения дви- |
||||
жения (3) и (4) и получим |
|
|
|
|
|
Л/% +с!;-•£,/()<? = О, |
|
||
|
L0e+Re+Llii0i = 0. |
|
||
О т в е т : 1оё+Яё+Ц^ |
= 0, М^ + с^-L{i0e |
= 0. |
|
|
Задача 48.56
Основание датчика, описанного в задаче 48.54, совершает малые вертикальные колебания по закону = sin со/. Определить закон движения якоря и ток в электрической цепи датчика.
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
|
|
|
|
853 |
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
Электромеханическая система, со- |
|
0 |
|
|
||
стоящая из подвижного якоря, совер- |
, |
• |
|
|
||
шающего поступательное движение, |
с)2| Mg |
:с/2 |
R |
|||
и электромагнитного механизма, име- |
||||||
|
||||||
ет две степени свободы. Выберем обоб- |
|
^ |
] |
Е |
||
щенные координаты: х — перемещение |
|
|
|
|
||
якоря, которое определяет его переме- |
|
|
|
|
||
щение по отношению к корпусу дат- |
|
|
|
|
||
чика (см. рисунок), q — обобщенная |
|
|
Ж77777 |
|
||
координата, фиксирующая состояние |
|
|
|
|
||
электрической цепи. |
|
|
|
|
|
|
Этим обобщенным координатам соответствуют уравнения Ла- |
||||||
гранжа 2-го рода: |
|
|
|
|
|
|
±(дТ\ |
ЭГ |
|
|
|
(1) |
|
dt\dq |
Bq = 0,, |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dJK\JJL=Qx. |
|
dt К дх J дх |
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|||
Кинетическая энергия электромеханической |
системы |
|
||||
Т = |
ТХ+Т2, |
|
|
|
||
где Тл -1~Мх-> T2=U(x)q2. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Г = i Мх2 + - Дх) q2. |
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Определим обобщенные силы: |
|
|
|
|
||
Qx = Mg- с ( х 0 + х ) + М% = Mg - |
сх 0 - |
сх - М ^0со2 sin со/, |
|
|||
Qq = E* = |
E-R(i0+i). |
|
|
|||
С учетом решения задачи 48.55 на основании уравнений Лагран- |
||||||
жа (1) и (2) получим |
|
|
|
|
|
|
Z0/+7?/ + Z)/0x = 0) |
|
|
(3) |
|||
Мх + сх-Lxi0i |
= -M%Q(02 sinat. |
|
(4) |
|||
Введем подстановку: |
|
|
|
|
|
|
|
/ = asinco/+6cosco/, |
|
х = gsinco/+/cosco/. |
|
||
Продифференцировав эти выражения, подставим полученные |
||||||
значения в уравнения (3) и (4): |
|
|
|
|
|
|
|
L0a>a + Rb + Lli0(og |
= 0, |
|
(5) |
||
|
-L0coa + Ra-L\i0<Sif = 0, |
|
(6) |
|||
|
(с - Л/со2)/ - |
Ц iob = 0, |
|
(7) |
||
|
( с - Мв2)я - Z)/0fl = Щ0(й2. |
|
(8) |
|||
Решим совместно уравнения (б) и (7), получим |
|
|
||||
|
|
|
|
а— 0. |
|
|
Решим совместно уравнения (5) и (8), получим |
|
|
||||
|
Rb(c-Ma>2) + (ol(c-Моз2)Ц |
+ Llifaa = Л/^0со21,/0са |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
^ M ^ / o t o f c ^ ) , |
|
|
|||
|
|
|
А |
|
|
|
|
f _ |
M^RLfijdi |
|
|
|
|
|
1 |
А |
|
|
|
|
|
£ = -Л/ ^0(й2 L ^ L o ( S > l + |
+ |
- |
^ |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
где А = R\c - Ma?)2 + co2[I?/02 + 10 (с - |
Л/со2)]2. |
|
|
|
||
Найдем значения тока в цепи и перемещение якоря: |
|
|||||
/ = |
^/0{/?(с-А/ю2)cosco/ + co[Zjv02 + I0(c-A/co2)]sinсо/}-, |
|||||
Х = ^^-|coZ,?/o2/?cosco? -[I?/O2loco+ R2 + LW{C-MO2)] |
sinco/}. |
|||||
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
855 |
|
М £ со^ |
-{/?(c-Mo2 )coscor + ю [if'o -+- /-оСс — Л/ш2)^ sin cof}; |
О т в е т : / =——Z,,/0 |
||
х = |
{~[L^L0a> + R2 + LW(c - Mm2)] sin со/ + |
|
+ w/.|/'oleosa)/}.
Задача 48.57
Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими полюсами А, создающего радиальное поле, и якоря массы М, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с катушкой, состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивление ко-
торого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления Р); средний радиус катушки г; ее самоиндукция L, сопротивление R, магнитная индукция в зазоре магнита В. К зажимам катушки приложено переменное напряжение V(t). Составить уравнения движения системы.
Указание. Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и магнита, равны Qq = -litrnBx, Qx = -2кгпВд (Qq — электродвижущая сила, индуцированная в электрической цепи, а Qx — сила взаимодействия катушки с магнитом).
Р е ш е н и е
Электромеханическая система, состоящая из подвижного якоря, совершающего поступательное движение, постоянного магнита и электромагнитного механизма, имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: х — перемещение якоря, определяет положение подвижной части механизма, q — обобщенная координата фиксирует состояние электрической части цепи.
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
857 |
||
Определим обобщенные силы: |
|||
а |
8Л __ |
Mg-5x-Fynp-5x-Fconp-5x+Q*-8x |
|
8х |
8л: |
||
|
|||
= Mg- Fynp - Fcопр |
+Q* = Mg - с(х + к) - Р х + 2птBq, |
||
bq bq
=E-Rq+V(t)-2nrnBx.
Найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил Qx и Qq подставим в уравнения (1) и (2) и получим уравнения движения системы:
Mx=Mg-c(x |
+ k)-$x + 2nrnBq, |
(3) |
|
Lq = E-Rq+V(t) |
-2%rnBx. |
(4) |
|
В положении равновесия системы |
Е |
|
|
ск = Mg, q = io = —. |
|
||
|
|
R |
|
Тогда уравнения движения системы (3) и (4) примут вид
Мх + сх+Рх - 2nrnBq = О,
Lq + Rq + 2nrnBx -- V(t).
О т в е т : Lq + Rq+2nrnBx = V(t), Mx + cx+$x-2%rnB4 = 0.
Задача 48.58
К основанию сейсмометра с индукционным преобразователем прикреплена катушка из п витков радиуса г, соединенная с электрической регистрирующей системой, схематизируемой цепью с самоиндукцией L и сопротивлением R. Магнитный сердечник, создающий радиальное магнитное поле, характеризуемое в зазоре магнитной индук-
цией В, опирается на основание с помощью пружин общей жесткости с. На сердечник действует также сила сопротивления, пропор-
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
859 |
Возьмем их производные по времени:
Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам:
Сучетом потери напряжения найдем значение ЭДС в цепи:
£* = E-Rq.
Определим обобщенные силы:
х |
5х |
5х |
= Mg- |
Fyпр - Fconp +Q* +Фe = Mg- с(х + X)-^x+2%rnBq + Щ, |
|
|
Q. = — = Е* -(Я |
= E-Rq-2 кгпВх. |
|
bq |
|
Найденные выражения производных кинетической энергии и обобщенных сил Qx и Qq подставим в уравнения (1) и (2) и получим уравнения, определяющие перемещение сердечника и ток в цепи:
Mx = |
Mq-cx-cX-M^a^smtat-^>x-2nrnBq, |
( 3 ) |
|
|
Lq = E - Rq-2%rnBx. |
E |
( 4 ) |
В положении равновесия системы сХ„ = Mg, д - i0 |
|
||
= —. |
|
||
Тогда уравнения (3) и (4) примут вид |
R |
|
|
|
|
||
Мх + сх + Р л: ~2nrnBq = -M^Q to2 sin Ш, |
|
|
|
|
Ц + Rq+2itrnBx = Q. |
|
|
О т в е т : Мх + сх + $х-2nrnBq = -MZ;0a>2 sma>t, Lq + Rq+2nrnBx |
= 0. |
||