Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

doc2

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

14.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 7778 / 8778 79 80 81 82 83 84 85 86 87 > Следующая >>>

У/////////Ж

770 XI. Аналитическая механика

Груз К будет опускаться вниз при нулевой начальной скорости,

если w>0, т.е. когда
8	~щ —m(\+f)~	>0
	(т, +2т)
или	ГП\ >/я(1+/).
	ГП\ >/я(1+/).
Ответ: тх >/я(1+/); w =	g — — .
	щ +2т

Задача 48.27

Два груза D и Е массы т каждый привязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза Е идет через неподвижный блок А, охватывает подвижный блок В, возвращается вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком А, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость

образует угол а с горизонтом. К подвижному блоку В прикреплен груз А" массы т\. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен / Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз А'будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: Х\ — смещение груза Е, х2 — смещение груза D (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

d(dT\ дТ

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

771

Кинетическая энергия системы

т = тЕ+тА+тк =

_ mEv\ I mAv2A | mKv\ _

-	+	+	f +	Y -
2	2		2 V	2

=+ x22) +/и, (x, + x2)2].

Определим производные от выражения кинетической энергии:

97*	1	+2т,(х1 + х2 )2	1	+ *г)2	],
—	= -[8/их,	+2т,(х1 + х2 )2	] = -[4 / и *1	+ *г)2	],
		-Umx2+m\(x\ + х2)2];
	dt (эх, )
Э Т	1	+2да,(х, + х2)2	1	+/и,(х, + х2)2	],
—	= -[8/ях2	+2да,(х, + х2)2	] = -[4тес2	+/и,(х, + х2)2	],

д Т = д Г = ( ) Эх, Эх2

Найдем обобщенные силы Q\ и Q2. а) Полагаем §х, >0, Sx2 =0, тогда

84 = -FTpbx, +GK~-	-	~ fmg^xb
Ql=M.-fmg	=	l(mi-2fm)-

б) полагаем &х, = 0, 8х2 > 0, тогда

8А2 = GK

- GA sin aSx2 =

- mg sin a )§x2,

Qi = ~("b -2wsina).

772	XI. Аналитическая механика

Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравнения (1) и (2) и получим дифференциальные уравнения движения системы:

	1	я
	-[4/яХ] +/я,(х, + х2)]	= y(w, -2fm),
1		Я
-	[4тх2 + щ (хх + х2)] = —-(/«I — 2т sin а).

Решим эту систему уравнений и найдем ускорение грузов Еи А: /Я) (2—/ + sina)-4w/

2(/П| +2т)

х2 = g m{Q. +/)-sina(4m+m1 ) . 2(/И| +2т)

Ускорение груза К

_ х 2 + Х] _		mi(2+ /)-sina(4m+/W\|)+W\|(2-/ + sina)-4m/ _
2	8	2-2(т{+2т)

Щ ~m(f + sina) wj| +2m

Условие, при котором груз будет опускаться, w>0, т.е. когда

			Щ —m(f + sina) >0
или
			mi > m ( f + sina).
„	, ,	, . '	m, - m ( f + sin a)
О т в е т :	mx >m(f	+ sina); w = g—		-	-.
				m\ +2m

Задача 48.28

Призма А массы m скользит по гладкой боковой грани призмы В массы ш ь образующей угол а с горизонтом. Определить ускорение призмы В. Трением между призмой В и горизонтальной плоскостью пренебречь.

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода						773
Р е ш е н и е
Система имеет две степени свободы. Вы-
берем обобщенные координаты: х, — сме-
щение призмы А по наклонной плоскости						"А
призмы В, х2	— смешение призмы В (см.				в
рисунок).						G. аг ^
					ТУУ'///у;//////
Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:
	d(dT\		dT_	ЭЯ		(1)
	dt v3x\|,		Эх,	ЭХ\|

	d_(dT		дТ	ЭЯ		(2)
	dt	Эх-,	дх2	дх2

Кинетическая энергия системы
Т =	t~Y'+	= ~ ~	+ у(i2 + -2 -2Х[Х2 cosa).
Определим производные от выражения кинетической энергии:
	дТ = mx\ -тх2			cosa,
	Эх.

тх\ - т х 2 cosa;

dt V3x,

ЪТ -mx2 -rrt\X2 -mx, cosa, дх2

i m = mx2 -m\x2 -mx, cosa; dt{dx2

Э T Э T Эх, Эх2

Потенциальная энергия системы

77= -GaX] sina = -mgxt sin a.

Найдем производные от выражения потенциальной энергии:

ЭЯ

ЭЯ „

774	XI. Аналитическая механика
Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и полу-
чим систему дифференциальных уравнений:
тхх - тх2 cosа = mg sin а,	(3)
тх2 +/И]х2 —тх\ cosa = 0.	(4)

Разделим уравнение (4) на cosa и сложим с уравнением (3):

„ т+т|

-тх2 cosa+х2 cosa = mg sin a

или
mx2(\-cos a)+m\X2		=mgsinacosa.
Откуда ускорение призмы В
x2 = w = £	т sin2a
x2 = w = £
2(m[ +wsin a)
m sin2a
Ответ: w = g 2(/И) +msin a)
Задача 48.29
На гладкой горизонтальной плоско-
сти помещена треугольная призма ABC
массы т, которая может скользить без
трения по этой плоскости; по грани приз-
мы АВ катится без скольжения однород-
ный круглый цилиндр массы тх. Опреде-
лить ускорение призмы.
Р е ш е н и е
Система имеет две степени свободы.
Выберем обобщенные координаты: хх —
смещение цилиндра по наклонной плос-
кости призмы, х2 — смещение призмы
(см. рисунок).
Запишем уравнения Лагранжа 2-го
рода:
d(bT\	ЬТ _	ЭЯ	(1)
dt VdX\| )	дхх	Эх\|'	(1)
dt VdX\| )	дхх	Эх\|'

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

775

					дТ\дТ_		ЭЯ				(2)
		dt		дх2)		дх2	дх2				(2)
		dt		дх2)		дх2	дх2
Кинетическая энергия системы
	Wijc2sin2 a					cosa - x 2 )		2 mxx2	R2	mx2
1 = 1] +1	2	2			1	2		1 2/J^	2	1 2	=
	l,5m\|Ai2 - 2m(					x2 cosa+Ж) x2 +mx2
	3	,2			1 .	. ,	- m j x ^ c o s a .
	= -mxxx		+—(mx +m)x2				- m j x ^ c o s a .
	4			2

Определим производные от выражения кинетической энергии:

ЭТ ... .
—		= 1,5mxx		-mucosa,
Эх1
</ГЭП . . .				-m\X2cosa,
—	—	\=\,5mxxx
dt	\дхх)
ЭТ		.	.	.
—		= Ш\х2 +mx2		-тх] cosa,
Эх2
d(bT\		\-т\х2 +тх2		-тхх\ cosa;
— —
dt \Эх2)
		ЭГ =	э г = 0

Эх, Эх2

Потенциальная энергия системы

/7= -G^xi sina =

sina.

Найдем производные от выражения потенциальной энергии:

ЭЯ

- — = -W|gsma, Эх|

дх2

776			XI. Аналитическая механика
Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и по-
лучим
l,5m,x, - m u c o s a = m,gsina,				(3)
ni\ х2 +тх2 - /их, cos a = 0.				(4)
Разделим уравнение (3) на 1,5, а уравнение (4) на cosa, сложим
почленно и получим
- m u c o s a	.. m+W\|		m^sina
1,5	1- х2 cosa	=	1,5 .
Откуда ускорение призмы
	т, sin2 a
*2 = w = g-
	' Ъ{гп\ + т ) -2п1\ cos2 a
			тх sin2 a
О т в е т : ускорение направлено влево и равно g 3 {тх + т ) ~ 2m, cos				a

Задача 48.30

Через блоки А и В с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижный блок С; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок С нагружен гирей массы т = 4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы щ = 2 кг и т 2 - 3 кг. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: х} — смещение груза />,, х2 — смещение груза Р2 (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

dt ^Эх, J	ЭХ,	ЭХ, '
±(Э21'\_дТ=_дП_		( 2 )
dt \Эх2 J	Эх2	Эх2

fttJ(tft///U(ft/

ЖЖ в

'• О

Л - Щ	щ
'ЩВ	- rn2g

№

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода			777
Кинетическая энергия системы
	• 2	2 1 2
if -2	-2	Х?+2Х?Х7+Х2^	.
= -^тхх{+Ш2Х2+т—			.

Определим производные от выражения кинетической энергии:

дГ	с ,	т(хх+х2)
Эх,	— Щ Х\| +	4	,

дх2	4
	m(x,+ x2 )
Ж^г)	2 2

Потенциальная энергия системы

Tl=mxgx\ +m2gx2-mgXi

Найдем производные от выражения потенциальной энергии по обобщенным координатам:

ЗЯ	mg	=	g		.
~ = mlg--f	2	=	2	H2ml-m),
дхх	2		2
ЭЯ	mg		g п		.
dx2	2		2

Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и получим дифференциальные уравнения движения системы:

	т	g
т\ХХ +		(х, + х2) = - - (2mi -т),
	4	2
т2х2	т	s	-т)
т2х2	+ —(х, + х2) = ~—(2т2		-т)
	4	2

778									XI. Аналитическая механика
или
	.	,	т\ т ..				g .				(3)
											(3)
	-	I	т\т.	х, =			g ,Л		.		( 4 )
	х21 т2		+ - 1+-	х, =			~{2т2-т).				( 4 )
Разделим уравнение (3) на тх					+ —, уравнение (4) на — и вычтем
					4				4
уравнение (4) из уравнения (3), получим
	т		т2 + т	= £		2ffjj -ш			1т2 -т
	т		4	= £		2ffjj -ш			1т2 -т
	т				2		т		т
	т>\| +—				v		т •+ —
					v		4
Откуда ускорение груза Р2:
	4т>т2-3тт,+тт2						4-2-3-3-4-2 +4-3			3	2
	— Ху = —е——-—-		-		— = —2					=	2
	4гп\т2 +т(тх +т2)						4-2-3+4(2+3)				11
Ускорение груза Р\ найдем из формулы (4):
щ	-j&b	~ х2\т2 + £ )				-\|<2 - 3 - 4 ) + 1 * ( з + 1
щ	=	т							4	=	п8'
		т							4	=	п8'
		4							4
Тогда ускорение груза Р
				1
	„ . _ * 1 + * 2 _ 1 1 11							1
			2		2			П

Знак минус в значении ускорения груза Р2 показывает, что это: груз движется вниз. Так как его ускорение больше, чем ускорени<

груза Р\, значит, груз Р будет двигаться вверх.
1	1		3	(вниз).
О т в е т : w = —g (вверх); Wj = —S (вверх); w2		=		(вниз).

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

779

Задача 48.31

Грузы М\ и М2 одинаковой массы т движутся по двум наклонным направляющим OA и ОВ, расположенным в вертикальной плоскости под углами а и (3 к горизонту; нить, соединяющая эти грузы, идет от груза А/, через блок О, вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q, несущий груз М массы тх, и затем через блок Ох, надетый на ту же ось, что и блок О, идет к гру-

зу М2. Блоки О, и О соосные. Определить ускорение w груза М, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: линейные перемещения хх и х2 соответственно грузов Мх и М2 по наклонным плоскостям (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

d(dT\	дТ _	ЭП	(1)
dt vS*\| J	Э*]	Эл'\|'

d(dT~\	ЭТ _	ЭЯ	(2)
dt\dx2J	дх2	дх2

Кинетическая энергия системы

у,_mxx + тх2 +тх (хх + х2 ~~2~ ~Г ~2

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

дТ	.	х, +х2
—	= /ях, -+-/W, —!—-—,
Эх,		4

<<< < Предыдущая 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 7778 / 8778 79 80 81 82 83 84 85 86 87 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.11.20181.76 Mб72doc1.doc
#
31.05.20151.09 Mб19doc1.pdf
#
31.05.20157.09 Mб28doc1.pdf
#
31.05.201511.39 Mб525doc1.pdf
#
31.05.201541.17 Mб39doc1.pdf
#
31.05.201514.26 Mб108doc2.pdf
#
31.05.2015271.87 Кб12document.doc
#
27.09.2019128.65 Кб1Dokument_Microsoft_Office_Word_Vosstanovlen (2)...docx
#
14.04.2019104.86 Кб2Dokument_Microsoft_Word(2).docx
#
31.05.201517.4 Mб86dorozhnostroit.pdf
#
31.05.20157.13 Mб26Dor_2199_Babaskin_Yu_G_Dorozhnoe_gruntovedenie.pdf