doc2

Задача 47.17

Центробежный регулятор вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти зависимость между угловой скоростью регулятора и углом а отклонения его стержней от вертикали, если муфта массы М\ отжимается вниз пружиной, находящейся при а = 0 в недеформированном состоянии и закрепленной верхним концом на оси регулятора; массы шаров равны М2, длина стержней равна /, оси подвеса стержней отстоят от оси регулятора на расстоянии а; массами стержней и пружины пренебречь. Коэффициент жесткости пружины равен с.

Р е ш е н и е Механическая система имеет одну степень свободы. Применим

где Fkx, Fky — проекции активных сил на оси координат; Фкх, Фку — проекции сил инерции на оси координат; Ъхк, 8ук — вариации координат.

Покажем на рисунке активные силы: Gh G2, Fyпр и центробежные силы инерции Ф" шаров.

Сила инерции муфты равна нулю, так как регулятор вращается равномерно и муфта не перемешается.

Центробежные силы инерции ша-

-2(J1 /sina-5a-2G2 /sina-5a+2A/2(a+/sina)co2 /cosa-5a-

—2с/(1 — cos a) -21 sin a • 5a = 0.

Сократив на 5a Ф 0 и на 21, получим

-Gi sina-G2sina+m2 (a+/sina)co2 cosa-2c/(l-cosa)sina = 0,

Выразим координаты точек приложения сил в зависимости от

Задача 47.19

В регуляторе четыре груза одинаковой массы М] находятся на концах двух равноплечих рычагов длины 21, которые могут вращаться в плоскости регулятора вокруг конца шпинделя О и образуют с осью шпинделя переменный угол ф. В точке А, находящейся от конца шпинделя О на расстоянии OA = о, со шпинделем шарнирно соединены рычаги АВ и АС длины а, которые

вточках В и С в свою очередь сочленены со стержнями BD и CD длины а, несущими муфту D. В точках В и С имеются ползунки, скользящие вдоль рычагов, несущих гру-

зы. Масса муфты равна М2. Регулятор вращается с постоянной угловой скоростью (о. Найти связь между углом ф и угловой скоростью со

вравновесном положении регулятора.

Р е ш е н и е

Механическая система имеет одну степень свободы.

Применим общее уравнение динамики в виде

где Fkx, Fky — проекции активных сил на оси координат; Ф^., Ф ^ — проекции сил инерции на оси координат; Ьхк, Sy* — вариации координат.

Покажем на рисунке активные силы: Gb G2 И центробежные силы инерции Фц шаров:

Выразим координаты грузов Е, К и Е', К' в зависимости от угла (р,

Ур-а +2asin (90°-2ф) = а +2асоэ2ф.

Варьируя зависимости (3), получим &СПраВ=/С08ф-6ф, 5хЛеП = -/С05ф-8ф,

( 4 )

ду& = -4я5т2ф-5ф, ЬуЕЕ- = sinф• 5ф. Запишем уравнение (1) в развернутом виде:

2Gx8yK +2<7,6у£ -G28yD +2Фц8хправ-2Ф„8хлев = О или с учетом выражений (2) и (4)

2 С, / sin ф• 5ф - 2 G, / sin ф • 5ф+£?2 ( - 4 a sin 2 ф) 8ф+

+ 4JWj/ со2 /sin фсоБф8ф = 0.

После преобразований получим

~4G2 a sin 2 ф+2 Мх /2ю2 sin 2 ф = 0,

так как 8ф Ф 0. Тогда

О т в е т : равновесное положение регулятора возможно только

12gM2 а

при со= I — — ~ независимо от угла ф.

V мх1г

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

Методические указания к решению задач

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения, динамики путем его преобразования в уравнение в обобщенных коор-! динатах и для механической системы с голономными, идеальным^ и удерживающими связями имеют вид

где qu ..., qj,..., ^ — обобщенные координаты; qh ..., qj = — , . . . , qs dt

обобщенные скорости; S — число степеней свободы механической!: системы; Г — кинетическая энергия системы; Qf, ..., QJ, ..., Q§ обобщенные силы активных сил.

Для консервативных (потенциальных) систем уравнения (48.1)

Введем функцию Лагранжа (кинетический потенциал), равную; разности кинетической Т и потенциальной энергии П системы:

L=T-П. (48.3);

Так как потенциальная энергия системы не зависит от обобщенных скоростей, то уравнения (48.2) можно записать также в виде

Уравнения Лагранжа 2-го рода целесообразно применять к исследованию движения механических систем. Подобно тому как второй закон динамики для материальной точки используется при составлении дифференциальных уравнений движения материальных точек,

Задачи и решения

Задача 48.1

Передача вращения между двумя валами осуществляется двумя зубчатыми колесами, имеющими соответственно Z\ и зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них колесам соответственно равны /, и /2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент Ми а на другой вал — момент сопротивления М2. Трением в подшипниках пренебречь.

Р е ш е н и е

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Для составления уравнения ее движения используем уравнения Лагранжа 2-го рода, приняв за обобщенную

координату угол поворота первого 5фг = 5<р вала (см. рисунок): qx = сд = ф. Тогда

Определим входящую в уравнение (1) кинетическую энергию системы:

г = 1 ( / , + / 2 / 2 ) Ф 2 .

Определим частные производные от кинетической энергии и производную по времени:

Эф

Для определения обобщенной силы Q(р сообщим системе возможное перемещение и с учетом того, что 5ф2 = /бф, найдем элементарную работу:

5/1 = Д/|5ф| - М25ф2 = (A/| -iM2) 5ф.

Тогда

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (1) и получим уравнение движения первого вала

Задача 48.2

Барабан Б центрифуги приводится во вращение электродвигателем ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы моменты инерции 10 электродвигателя, момент инерции /2 барабана, момент инерции Ji промежуточного вала редуктора, передаточные числа /01 и ii2 ступеней редуктора. К ротору электро-

двигателя приложен вращающийся момент М0 и момент сил сопротивления MQ, К валу редуктора и к барабану — моменты сил сопротивления М{ и М2 соответственно. Составить дифференциальное уравнение вращения центрифуги.