doc2
.pdf46. Принцип возможных перемещений |
|
|
651 |
||
ИЛИ |
|
|
л/л2 - л 2 |
|
|
|
FvK ±(МЛ + M{)gfvK - M2gvK |
= О. |
|||
Найдем область значений модуля силы F: |
|
||||
. j R 2 |
- h 2 |
•\lR2-h2 |
|
||
ZSL-JL- M2g - /(M, + M2)g<F< |
|
M2g + /(Л/, + M2) g. |
|||
О т в е т : |
J F T T T |
JN2 |
_HI |
+M2)g. |
|
" M2g-/(Ml + M1)g<F<-^-r^-M2g+f(Ml |
|||||
|
Задача 46.13 |
|
|
||
Круглый эксцентрик А массы М\ |
У///////////////////У |
||||
насажен на неподвижную горизонталь- |
|||||
|
|
|
|||
ную ось О, перпендикулярную плоско- |
|
|
|
||
сти рисунка. Эксцентрик поддержи- |
^ |
|
|
||
вает раму массы М2, имеющую вер- |
| |
|
|
||
тикальные направляющие. Трением |
У///////>/7УУ////У/ |
||||
пренебречь. Эксцентриситет ОС = а.
Найти величину момента т 0 , приложенного к эксцентрику, если при покое материальной системы ОС образует с горизонталью угол а.
Р е ш е н и е |
|
|
Рассмотрим равновесие системы, |
|
|
состоящей из эксцентрика А и рамы В. |
I |
|
Покажем на рисунке активные силы. |
^ |
|
Система, подчиненная идеальным |
| |
|
связям, находится в равновесии под |
^ |
|
действием сил тяжести Mxg, M2g и мо- |
M2g |
|
мента т0. |
||
|
Применим принцип возможных перемещений в проекции на де-
картовы оси координат: |
|
8Хк + Fky 5 Yk + Fkz 8Zk) = 0. |
( 0 |
Сообщим эксцентрику А возможное угловое перемещение 5а в направлении возрастания угла а. Считаем, что радиус эксцентрика R.
652 |
XI. Аналитическая механика» |
Для определения возможного вертикального перемещения центра масс эксцентрика А и рамы В найдем их координаты как функции угла а:
Yc = a sin а,
Уд =tfsinoc+ Л.
Учитывая, что возможное перемещение точки является вариацией соответствующей координаты, имеем
6УС = а cosa -5a, 5 YB = А cosa-5a.
Запишем уравнение (I) в виде
т0 • 5a - М, g a cosa • 5а - M2g a cosa • 5а = О
или
[то ~(М\ + M2)ga cosajSa = 0. Так как 5а^0, то
т0 - (А/, + М2) ga cos а = 0.
Откуда
т о — (Л/| +M 2 )ga cosa.
Ответ: т0-(М\ + M2)ga cosa.
Задача 46.14
В механизме домкрата при вращении рукоятки А длины Я начинают вращаться зубчатые колеса 1, 2,3,4 и 5, которые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата. Какую силу надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы чашка С при равновесии домкрата развила давление, равное 4,8 кН? Радиусы зубчатых колес соответственно равны: /•) = 3 см, г2 - 12 см, г3 = 4 см, /-4 = 16 см, г5 = 3 см, длина рукоятки R = 18 см.
654 |
XI. Аналитическая механика» |
Задача 46.15
Дифференциальный ворот состоит из двух жестко связанных валов /4и £ , приводимых во вращение рукояткой С длины R. Поднимаемый груз D массы М прикреплен к подвижному блоку Е, охваченному канатом.
При вращении рукоятки С левая ветвь каната сматывается с вала А радиуса ги а правая ветвь наматывается на вал В радиуса г2 (г2 >/]). Какую силу Р надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы уравновесить груз D, если М = 720 кг, /-, = 10 см, г2 = 12 см, R = 60 см?
Р е ш е н и е
Рассмотрим дифференциальный ворот. Покажем на рисунке активные силы. Система, подчиненная идеальным связям, находится в равновесии под действием силы тяжести груза Mg и силы Р.
46. Принцип возможных перемещений |
|
655 |
Применим принцип возможных скоростей: |
|
|
f,Fkvkcos(Fk,vk) |
= Q. |
(1) |
к=1 |
|
|
Сообщим рукоятке Си жестко связанным с ней валам Л и В угловую скорость со. Найдем скорость VE центра подвижного блока Е, который совершает плоскопараллельное движение:
У) |
_ УЕ _ |
У2 |
Г-X |
X |
г + х |
V£ = V 2 - V , _ Ъ - Ц О). |
||
Скорость груза D |
|
1 |
|
|
|
Запишем равенство (1) в виде
PRa-MgvD =0
или
Откуда
р = Mg^—^ = 720-9,81-——— = 118 (Н).
5 2R |
2-60 |
О т в е т : Р = Mg^—^- = 118 Н. 2 R
Задача 46.16
В механизме антипараллелограмма ABCD звенья АВ, CD и ВС соединены цилиндрическими шарнирами В и С, а цилиндрическими шарнирами А и £) прикреплены к стойке AD. К звену CZ) в шарнире С приложена горизонтальная сила Ес. Определить модуль силы Fg, приложенной в шарнире В перпендикулярно звену АВ, если механизм находится в равновесии в положении, указанном на рисунке. Дано: AD = BC, AB = CD, /.ABC = /.ADC = 90°, /DCB= 30°.
46. Принцип возможных перемещений |
657 |
Р е ш е н и е
В соответствии с принципом возможных скоростей
п_
ZFkvkcos(Fk,Vk) |
= 0 |
|
|
запишем уравнение для этого случая: |
|
|
|
FaVA~FDVD= О- |
|
(О |
|
Из кинематики плоского движения сле- |
|
||
дует, что в данном положении точка В — мгно- |
|
||
венный центр скоростей шатуна АВ. |
|
|
|
Тогда (см. рисунок) |
|
|
1 |
V c _ 5 C |
Yc.^lid |
vC = |
|
vA~ ВА |
vA ~ 2 ВА |
2 V > |
|
|
|
||
По теореме о проекции скоростей точек твердого тела для звена DC
1
•vD=-v4A. (2)
Подставив значение vD из выражения (2) в уравнение (1), вынесем vA за скобки и получим
V ^ f b j v ^ O .
Так как возможная скорость vA #0, следовательно, нулю равно выражение в скобках, т.е.
Fd=4FA-
О т в е т : FD =4FA .
Задача 46.18
Колодочно-бандажный тормоз вагона трамвая состоит из трех тяг АВ, ВС и CD, соединенных шарнирами В и С. При действии горизонтальной силы F тормозные колодки К]л L, соответственно прикрепленные к тягам ABwCD, прижимаются к колесу. Определить силы давления NK и NL колодок на колесо. Размеры указаны на рисунке. Вагон находится в покое.
658 |
|
|
|
|
|
|
XI. Аналитическая механика» |
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
Первоначально мысленно освободим |
|
||||||
от опоры колодку L, заменив ее силой |
|
||||||
реакции ffL (см. рисунок). При этом ле- |
|
||||||
вая часть механизма (стержень АВ) при- |
|
||||||
обретет возможность вращаться вокруг |
|
||||||
точки К. |
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с принципом возмож- |
|
||||||
ных перемещений получим |
|
|
|
|
|
||
F-bsA~NLbsL |
= О, |
|
(1) |
|
|||
а |
~ |
д „ |
|
|
|
|
|
5sB Ъ |
|
b |
|
|
|
|
|
|
с |
е |
|
&$г |
= |
b + d |
, |
С учетом равенств оSg = osc, |
—- |
d |
|||||
|
|
|
|
5sL |
|
|
|
|
|
„ |
a b + d ~ |
|
|||
|
|
bsA |
= - |
——bsL. |
|
||
|
|
|
b d |
|
|
||
Подставим полученные значения в уравнение (1): |
|||||||
|
|
,а b + d |
-NL |
|
6 ^ = 0 . |
||
|
F |
b |
d |
|
|
|
|
Так как bsL Ф 0, то, приравняв к нулю выражение в скобках, найдем |
|||||||
|
|
N, |
|
а b + d |
|
||
|
|
|
=F- |
d |
|
||
|
|
|
|
b |
|
||
Мысленно освободимся от опоры в точке К. В результате стержни DC и ВС будут неподвижны, а стержень АВ будет вращаться вокруг точки В.
Принцип возможных перемещений в этом случае запишем в виде
|
F-8Sa- |
Nk • bsK = 0. |
( 2 ) |
|
Из кинематики известно: |
|
|
|
|
SS^ |
_ А + Ь |
С- |
А+Ь |
|
8sK |
b |
•bsA |
8 5 ,к- |
|
|
|
|
||
46. Принцип возможных перемещений |
659 |
Подставим полученные значения в уравнение (2), вынесем за скобки независимое возможное перемещение и приведем равенство (2) к виду:
Так как bsK то, приравняв к нулю выражение в скобках, получим
|
|
|
л/ |
|
г а + 1 > |
|
|
|
|
|
b |
^ |
ra+b |
кт са |
b + d |
||
Ответ: |
NK = F |
b |
; Nr = F |
b |
d . |
Задача 46.19
На рисунке изображена схема колодочно-бандажного тормоза вагона трамвая. Определить зависимость между a, b и с, при наличии которой колодки А и В под действием силы F прижимаются с одинаковыми по модулю силами к бандажам колес Си D. Найти также величину этой силы. Колеса считать неподвижными.
F
•о и
+
# А
О- -О
Р е ш е н и е
Мысленно освободим механизм от колодок/4 и В, заменив их соответствующими силами реакций. Сообщим возможные перемещения