doc2

Задача 45.39

Двухступенчатая ракета предназначена сообщить полезному грузу <7 = 1 кН скорость v = 6000 м/с. Эффективные скорости истечения газов у ступеней одинаковы и равны ve = 2400 м/с. Конструктивные характеристики первой и второй ступеней соответственно равны S| =4, s2 = 5 (см. задачу 45.38). Пренебрегая силой тяготения Земли и сопротивлением атмосферы, определить числа Циолковского для первой и второй субракет, при которых стартовый вес Gl ракеты будет минимальный.

Р е ш е н и е

На основании формулы Циолковского запишем

— = ln(*jz2). ve

Откуда

Стартовый вес ракеты вычислим по формуле (11) из решения задачи 45.38:

Исследуем выражение (2) на минимум. Для этого продифферен-! цируем его и приравняем к нулю:

Решив это уравнение, найдем:

20 - 5г,2 + Z, <?2'5 - 4 е2>5 +1 Oz? - 20z, - % е2'5 = 0,

5z2 =4е2-5,

Тогда согласно формуле (1)

е2,3 г2 = _ — = 3,91.

3,12

На основании исследования перемены знака производной в точке zi =3,12 убеждаемся, что стартовый вес (7, достигает минимума, который рассчитаем по формуле (2):

е1-5 • 12 1

G , m i „ = - —— = 152 (кН). 0,881,09

О т в е т : г, =3,12; z2 =3,91; С, =152 кН.

Задача 45.40

Используя данные предыдущей задачи, определить для каждой ступени вес топлива и сухой вес.

Указание. Использовать формулы ответа к задаче 45.38.

Ре ш е н и е

Вес топлива в первой ступени найдем по формуле (6) из решения задачи 45.38:

н

г, 3,12

Сухой вес первой ступени ракеты рассчитаем по формуле (16) (см. решение задачи 45.38):

Полный вес второй ступени найдем по формуле (10):

S2-Z2 5-3,91

Используя формулы ответа к задаче 45.38, рассчитаем вес топлива во второй ступени:

р = Z L z l G 2 = h 2 1 z l . 14,34 = )0,7 (кН) 3,91

XI. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Аналитическая механика — это область (раздел) механики, в которой изучается механическое движение или равновесие механических систем с помощью общих единых аналитических методов, применяемых для любых механических систем. При этом получаются уравнения равновесия или движения одной и той же структуры, независимой от вида механической системы. Преимущество аналитических методов и состоит в том, что они обладают исключительной общностью, т.е. применимы к исследованию движения или равновесия различных механических систем под действием сил. Достигается это за счет введения обощенных понятий, таких как обобщенные координаты, обобщенные скорости и обобщенные силы, а также понятий возможные (виртуальные) и действительные перемещения, возможная работа силы и понятия связей, в том числе и идеальных.

Методы аналитической механики базируются на использовании целого ряда аксиом и теоретических положений динамики и кинематики, таких как кинетическая.и потенциальная энергия, работа силы, силы инерции, кинематические характеристики твердого тела и его точек и др.

При решении задач с помощью методов аналитической механики представляется возможным составлять уравнения равновесия или дифференциальные уравнения движения, не вводя реакций связей.

В основе аналитической механики лежат общие принципы механики, из которых аналитическим путем получают уравнения движения или равновесия механических систем.

Принципы механики представляют собой положения (утверждения), из которых как следствия вытекают другие частные положения. Как и аксиомы, они служат тем началом, которое может быть положено в основу дальнейших теоретических построений, доказательств и выводов. Но в отличие от аксиом это не очевидные положения, которые требуют в ряде случаев строгого математического Доказательства.

Рассмотрим понятия, часто встречающиеся при решении задач Методами аналитической механики.

624 XI. Аналитическая механика»

Связями в аналитической механике называют любые ограничения, накладываемые на движения точек механической системы. Такими ограничениями могут быть не только тела, но и некоторые кинема/ тические условия. Поэтому все эти ограничения (поверхности, линии, кинематические условия) могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Связи, уравнения которых содержат только координаты точек, т.е. ограничения накладываются только на координаты точек, называются геометрическими связями. К ним относятся связи в виде тел, поверхностей, линий и т.п.

Связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости, называются дифференциальными связями.

Все геометрические связи и те дифференциальные связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, называются голономными связями.

Дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы, называются неголономными связями.

Геометрические и дифференциальные связи, в уравнения которых явно не входит время, называются стационарными. Связи, в уравнения которых явно входит время, т.е. с течением времени они изменяются, называются нестационарными.

Связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях, называются двусторонними или удерживающими (не освобождающими). Такие связи описываются уравнениями. Связи, ограничивающие движение только в одном направлении, называются односторонними или неудерживающими (освобождающими) и всегда описываются неравенствами.

Возможными, или виртуальными, перемещениями точек механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускают наложенные на систему связи. Возможные перемещения механической системы — это совокупность одновременных возможных перемещений точек системы, совместимых со связями. В случае нестационарных связей под возможными перемещениями точек системы понимаются воображаемые бесконечно малые перемещения при мгновенно остановленных (замороженных) связях.

Действительные перемещения — это также элементарные перемещения точек системы, которые не противоречат связям (допускают

связи), но с учетом начальных условий движения и действующих на систему сил. Если положение точки определяется радиусом-векто- ром г, то ее возможное перемещение будем обозначать бг, а действительное — dr.

Из сказанного выше следует, что действительное перемещение точки в случае стационарных связей будет совпадать с одним из ее возможных перемещений. Если связь нестационарная, то действительное перемещение с учетом данной связи будет иным, т.е. в этом случае действительное перемещение не может совпадать ни с одним из множества возможных перемещений, которые допускает наложенная связь.

Возможной работой силы F называется элементарная работа ЬА этой силы на возможном перемещении 5г точки ее приложения, т.е.

Если под действием силы F тело совершает вращательное движение, то возможная работа силы

где MZ(F) — момент силы относительно оси вращения; 5<р — возможное угловое перемещение тела.

Возможная работа сил, приложенных к точкам механической системы,

В соответствии с принципом освобождаемости от связей несвободную механическую систему можно сделать свободной, если отбросить наложенные на точки системы связи и их действие заменить силами — реакциями связей. Используя понятие возможной работы, можно дать следующее определение идеальных связей.

Идеальными связями называют связи, алгебраическая сумма элементарных работ реакций которых на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю, т.е.

случае силы реакций связей и возможные перемещения точек приложения этих сил взаимно перпендикулярны. Если связи с трением, то полная реакция шероховатой поверхности может быть разложена на нормальную составляющую, перпендикулярную к поверхности, и на касательную — силу трения, работа которой на возможном перемещении не равна нулю. Однако в аналитической механике такую связь условно рассматривают как идеальную, но при этом силу трения относят к числу задаваемых сил.

Положение любой точки механической системы в выбранной системе отсчета может быть определено либо радиусом-вектором ?, либо декартовыми координатами (х, у, £)• Для всей механической системы с п точками необходимо 3п координат, среди которых могут быть и зависимые координаты. Поэтому более удобным является определение положения точек механической системы с помощью обобщенных координат.

Обобщенные координаты — это независимые друг от друга величины, которыми однозначно определяется положение механической системы.

В качестве обобщенных координат могут выбираться угловые или линейные перемещения тел, входящих в систему. Общее обозначение обобщенных координат — q.

Производная по времени от обобщенной координаты называется

обобщенной скоростью, т.е.

Число степеней свободы механической системы с голономными связями равно числу обобщенных координат. Иногда числом степеней свободы механической системы называют число независимых возможных перемещений, которые можно сообщать ее точкам в фиксированный момент времени. Поэтому если механическая система из и точек имеет одну степень свободы, то возможные перемещения всех точек будут взаимосвязаны, зависимы друг от друга. При решении задач методами аналитической механики все эти перемещения необходимо выразить через какое-либо одно перемещение.

Декартовы координаты могут быть выражены через обобщенные, т.е. декартовы координаты являются функциями обобщенных координат.

627 XI. Аналитическая механика»

Если система имеет S степеней свободы, то радиус-вектор к-й точки будет функцией от S обобщенных координат и времени 1, т.е.

Действительное перемещение такой точки характеризуется приращением радиуса-вектора, которое с точностью до малых, второго порядка малости, определяется как полный дифференциал и математически выражается так:

В отличие от действительных, возможные перемещения представляют собой малые приращения радиуса-вектора точки, вызванные изменением независимо от фиксированного времени /.

Такого рода бесконечно малое перемещение радиуса-вектора к-й точки называется вариацией или приращением. Вариация обозначается так:

Щoq-i 6qs

Выражение (XI.7) можно представить в виде

Введение понятия обобщенных координат позволяет выразить возможную работу сил, приложенных к механической системе, в этих координатах. Для этого выражение (XI.3) перепишем с учетом (XI.8) и получим

дrk

где Qj = £ F k x — — обобщенная сила; fy — приращение обобщен-

ии^qj

ной координаты с индексом j.

Таким образом, обобщенной силой называется коэффициент, стоящий при приращении обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, приложенных к механической системе. Для определения обобщенной силы по какой-либо обобщенной коорди-; нате необходимо все другие обобщенные координаты считать неизменными. Тогда их приращения будут равны нулю, за исключением приращения той обобщенной координаты, по которой определяется обобщенная сила.

Определив возможную работу сил, приложенных к механической системе, по одной из обобщенных координат и разделив ее на приращение координаты, определим обобщенную силу, соответствующую этой обобщенной координате:

(Xl.ll)

(XI. 12)

где Л — потенциальная энергия системы.

Следует заметить, что размерность обобщенной силы зависит от того, какое перемещение, линейное или угловое, выбрано в качестве обобщенной координаты. Размерность обобщенной силы соответствует размерности момента силы, если в качестве обобщенной координаты выбрано угловое перемещение, и размерности силы, если в качестве обобщенной координаты выбрано линейное перемещение.

46. Принцип возможных перемещений

Методические указания к решению задач

Принцип возможных перемещений, или принцип Лагранжа, выражает условия равновесия несвободной механической системы, находящейся под действием приложенных активных сил: необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия при условии, что в начальный момент система неподвижна.

Общее аналитическое выражение принципа имеет вид

Это выражение можно истолковать как принцип возможных скоростей или, более правильно, как принцип возможных мощностей.