Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
108
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

690

 

XI. Аналитическая механика,

или с учетом выражений (1)чи (2)

 

[Wigb -Mim)-(

Ф, Л + Ф2>5 + Щ

+ МЩ 5ф = 0.

Так как 5ф Ф 0, то

 

 

(M2r2 - Mxrx)g-(Mrf

+ M2r2 + Мыг2

+ M6r2)e = 0.

Откуда угловое ускорение

{M2r2 - Mxrx)g

 

е = -M\t\ + М2г} + Ммл2 + М6г2

(34-0,1 — 20-0,05)-9,81

= 49 (рад/с2).

20-0,052 + 34 0,12 + 4-0,052 + 8-0Д2

Для определения натяжения нитей применим принцип Даламбера.

На груз Мх действуют сила тяжести груза Mxg, сила реакции нити 7], сила инерции груза Ф, (рис. 2).

Запишем уравнение статики в виде суммы проекции сил на вертикальную ось х:

0, 7\ - M\g - Ф) = 0.

Тогда

Т\ = M\g + Мхах = Mx(g + ах) =

X

Ту

й1

<>

М

Фг

Рис. 2

= Mx(g + гхг) = 20(9,81 + 0,05 • 49) = 246 (Н).

 

На груз М2 действуют сила тяжести M2g, сила реак-

у'

ции нити Т2, сила инерции Ф2 (рис. 3). Для полученной

Т.

системы сил составим уравнение статики:

Ф,

0, T2-M2g + Ф2 = 0.

 

Тогда

 

Щё

Т2 = М-& - Ф2 = Mg - М2а2 = M2(g - г2е) =

а,

= 34(9,81 -

0,1 • 49) = 167 (Н).

р ш 3

О т в е т: е = 49 рад/с2;

Г, = 246 Н; Т2 = 167 Н.

 

47. Общее уравнение динамики

Задача 47.5

К системе блоков, изображенной на рисунке, подвешены грузы: Мх массы 10 кг и М2 массы 8 кг. Определить ускорение а2 груза М2 и натяжение нити, пренебрегая массами блоков.

Р е ш е н и е

Так как грузы Мх и М2 движутся поступательно, то, приложив к ним силы тяжести Mxg и M2g и силы инерции Ф] и Ф2 (рис. 1), можно в соответствии с принципом Даламбера считать систему, условно находящейся в равновесии.

Силы инерции по модулю

Ф, = Мхах;

Ф2 = М2а2

инаправлены в сторону, противоположную ускорениям Щ, а2. Сообщив системе возможное перемещение, составим общее уравнение динамики:

к—\ к=1

ИЛИ

691

/у//////////////////

Рис. 1

(М2 g -

Ф2 )8я2

- (A/,g + Ф , ) & , = 0 .

(1)

Подставив в уравнение (1) соотношения

 

 

Ф 2 = М2аъ

Ф, = Мхах = Л/,

5S2 =

28s,

получим

 

 

 

 

\2M2g-2M2a2-

Mxg--Mxa2

=0.

692

 

 

 

 

 

XI. Аналитическая механика,

Так как

* 0, то

 

 

 

 

 

 

 

2M2g-2M2a2-

M\g- — M\a2 =0.

Откуда ускорение груза М2

 

 

 

 

 

 

АМ2—2М\

л

4 - 8 - 2 1 0

0

_

_ 0

. . 2.

 

—

о 1»

 

'

- 2 , 8

(м/с2).

 

4М2 + М\

 

4-8+10

 

 

 

 

Определим натяжения нити. Для этого мысленно перережем нить на крайнем правом ее участке и рассмотрим движение груза М2. На основании принципа Даламбера система сил, состоящая из силы тяжести M2g, натяжения нити Т и силы инерции Ф2, эквивалентна нулю. Поэтому в проекции на ось у (рис. 2) получим

7 4 М2а2 - М% = 0.

Откуда

Т= M2(g- а2) = 8(9,8 - 2,8) = 56 (Н).

О т в е т : а2 =2,8 м/с2; Г = 56 Н.

Задача 47.6

Ф,

мгй\

Рис. 2

К нижнему шкиву С подъемника приложен вращающий момент М. Определить ускорение груза А массы М\, поднимаемого вверх, если масса противовеса В равна М2, а шкивы Си D радиуса г и массы Мъ каждый представляют собой однородные цилиндры. Массой ремня пренебречь.

п

О -

47. Общее уравнение динамики

 

 

 

693

Р е ш е н и е

 

 

 

 

Под действием приложенного к нижнему шки-

 

ву С вращающего момента М и сил тяжести M\g,

 

M2g грузы А и В данной механической

системы

 

движутся поступательно. Предположив, что шки-

 

вы С и D вращаются ускоренно по часовой стрел-

 

ке, приложим к грузам силы инерции Ф,, и Фв ,

 

а к шкивам моменты сил инерции Мс и А/д, на-

 

правив их противоположно соответствующим ус-

 

корениям (см. рисунок).

 

 

 

 

Сообщим шкивам возможное перемещение 8ф

 

и составим общее уравнение динамики:

 

к=1

к=\

 

 

 

(M2g—Фд)/"5ф-(Л/|£+Ф/4)/-8ф+(Л/ - Л/" -Л/д)8ф = 0.

(1)

Подставим в уравнение (1) значения

 

Фл = Мха, Ф в = М2а,

 

Ml = /с£с = I Мгг2

-

= i Мгга,

 

 

2

г

2

 

Мр = /д£о = ~М3г2~

г

= ^-М}Га,

 

 

2

2

 

получим

 

 

 

 

[М + (М2 - Mx)gr -

(Мх + М2 + Д/3)вг]8ф = 0.

 

Так как 8ф Ф 0, следовательно, нулю равно выражение в квадратных скобках. Откуда

 

 

_ M + (M2-Ms)gr

 

 

(Mi + М2 + М3)г

О т в е т : а =

М + (М2

- Mx)gr

 

(Мх +М2

+ М3)г
^ шт.
^ Ь
Л

694

Задача 47.7

Вал кабестана — механизма для передвижения грузов — радиуса г An приводится в движение постоянным вращающим моментом М, приложенным к рукоятке АВ. Определить ускорение груза С массы т, если коэффициент трения скольжения груза о горизонтальную плоскость равен/. Массой каната и кабестана пренебречь.

Ре ш е н и е

Кдействующим на груз силам: mg,

N, FTр и вращающему моменту М доAn бавим силу инерции Ф (см. рисунок).

Тогда система сил, приложенных * к валу кабестана и грузу, будет уравновешена. Сообщим валу кабестана возможное угловое перемещение бф, составим общее уравнение динамики:

*=1 *=1

XI. Аналитическая механика,

Г О м

V B

77777777777"О

за

М

7?в

ш-у—г 7г-г7- F

77777777

mg

 

Л/бф - (Fjp + Ф)гбф = О,

(1)

где Ф = та;

F,p =fmg.

 

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

(М - fmgr - /яга)6ф = 0.

 

Так как 5ф Ф 0, то

 

 

М - fmgr - тга = 0.

 

Откуда ускорение груза С

 

 

а - М-fmgr

 

 

тг

 

О т в е т : а =

М-fmgr

 

 

mr

 
I +тг2

47. Общее уравнение динамики

695

Задача 47.8

Решить предыдущую задачу с учетом массы кабестана, момент инерции которого относительно оси вращения равен I.

Р е ш е н и е

 

 

 

 

Механическая система будет ус-

 

гЬ. •М

 

 

ловно находиться в покое, если Ал

=z7b

 

к действующим силам: mg, N, Frp

м*

1

№

и вращающему моменту М, доба-

 

 

 

 

вить силу инерции груза Ф и мо-

 

Ж

 

 

мент сил инерции кабестана М",

 

/ / / /

/ / / /

 

 

 

направления которых противопо-

 

W'

 

mg

ложны соответствующим ускорениям.

Сообщим валу кабестана возможное угловое перемещение 8ф, со-

ставим общее уравнение динамики:

 

 

 

2 « 4 e

+ I A "

=0,

 

 

к-1

 

 

 

( М -

Л/")8ф -

(FT p +

Ф ) г 8 ф = 0,

(1)

где Ф = ma] FT0 =fmg; Мн

= /е = 1 —; г8ф = & с — возможное перемеще-

ние груза С.

 

г

 

 

 

 

 

 

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

М - fmgr-\

'1—+тг\а' 5ф = 0.

 

Так как 5ф * 0, то нулю равно выражение в квадратных скобках. Откуда ускорение груза С

а = r(M-fmgr)

О т в е т : а = r(M-fmgr)

/ + т г 2

696

XI. Аналитическая м е х а н и к а ,

Задача 47.9

Груз А массы М\, опускаясь по наклонной гладкой плоскости, расположенной под углом а к горизонту, приводит во вращение посредством нерастяжимой нити барабан В массы М2 и радиуса г. Определить угловое ускорение барабана, если считать барабан однородным круглым цилиндром. Массой неподвижного блока С и нити пренебречь.

Р е ш е н и е

Приложим к грузу А и барабану В силы тяжести: Mxg и M2g, силу инерции груза А: ФА и момент сил инерции барабана:

Af =

Мгг2

где 17 = • момент инерции бара-

бана относительно оси вращения.

Ускорение груза А

аа = г е.

M2g

 

Сообщим грузу возможное перемещение &, при этом барабан повернется на угол

с

8s

5ф = —.

Запишем общее уравнение динамики:

к=1 к=1

M\gbs sin a -O^Ss - Л/И8ф = О,

где Фл = М\аА = М,ге; Л/и = I г = М2г2

47. Общее уравнение динамики

697

Тогда

M i g s i n o c - r 8 < p - e S c p = 0.

Так как 8ф * 0, то

M{g sin a - М] re -

гг = 0.

Откуда

г- 2Afigsina

г(1М}+М2)

О т в е т : е =

2A/!gsina

 

г(2Мх+Мг)

Задача 47.10

Человек толкает тележку, приложив к ней горизонтальную силу F. Определить ускорение кузова тележки, если масса кузова равна Ми М2 — масса каждого из четырех колес, г — радиус колес,/к — коэффициент трения качения. Колеса считать сплошными круглыми дисками, катящимися по рельсам без скольжения.

Р е ш е н и е

 

 

Покажем на рисунке силы, прило-

 

 

женные к тележке: силу тяжести кузо- F

Ф

, 5s

ва М)£, силы тяжести M2g каждого ко-

 

a

леса, силу инерции Ф] кузова, глав-

 

 

 

ный вектор Фг, главный момент сил

 

 

инерции М2 и момент сопротивления

 

 

качению Мк каждого колеса.

 

 

Сообщим тележке возможное Пе-

м2г

 

ремещение 8s. Такое же перемещение

 

 

 

получит ось каждого колеса, в резуль-

 

 

тате колесо повернется на угол

 

 

&

 

 

8 ф = — .

 

 

Ускорение тележки а, а угловое ускорение колеса

698

 

 

 

XI. Аналитическая механика,

Применим общее уравнение динамики:

 

 

 

1 М ? + Х Д ?

= О,

 

 

 

/Ы

к=\

 

 

 

Fbs -

4Л/К8ф - <P]8s - 4(Ф2 & + ЛГ5(р) = 0,

(1)

где МК =

+ д/2

Ф, = М,а; Ф2 =

Л/и = / е = ^ е

=

Тогда уравнение (1) примет вид

 

 

Сократим на & и решим полученное уравнение относительно а:

г

+4M2)g

= Й(Л/, +6М2),

 

 

 

F-—(Mi

+4M2)g

а =

г

 

Mi +6М2

 

F-—(M\

+4M2)g

О т в е т : а =

С

.

 

М] +6М2

Задача 47.11

Каток А массы Мь скатываясь без скольжения по наклонной плоскости вниз, поднимает посредством нерастяжимой нити, переброшенной через блок В, груз С массы М2. При этом блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной его плоскости. Каток А и блок В — однородные круг-

лые диски одинаковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол а с горизонтом. Определить ускорение оси катка. Массой нити пренебречь.

47. Общее уравнение динамики

699

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке приложенные к системе заданные активные силы M\g и M2g, а также силы инерции Ф^ катка А и Фс груза С и моменты сил инерции катка и Mg блока, выразив их через искомое ускорение оси катка:

Фл = Муа,

Ф с = М2а,

2 г 2

где I — момент инерции относительно ос*

— = е — угловое ускорение катка (блока).

г

Сообщим оси катка возможное перемещение bs, груз С получит такое же перемещение, а каток и блок повернутся на угол

 

& р = Л

(1)

 

г

 

Запишем общее уравнение динамики

 

t s A i + 1 6 A t = 0

 

к=1

к=\

 

или в развернутом виде

 

 

Af,gsina-5.s - M2gbs -

- М^Ъq>- М|8ф- Фс5х = 0.

(2)

Подставим в уравнение (2) выражения сил инерции и моментов сил инерции тел, а также выражение (J). Тогда уравнение (1) примет вид

Л/igsina• & - M2gds - M^abs -

2

— -

— - M2abs - 0. (3)

 

г

2 г
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности