doc2
.pdf680 |
XI. Аналитическая механика» |
Р е ш е н и е
Для определения реакции опоры В отбросим шарнирно-непод- вижную опору В и заменим ее реакцией RB (см. рисунок). Сообщим системе возможное перемещение. Определим положение мгновенных центров вращения ферм I и II: точка С, для фермы I и точка С2 для фермы II. Запишем уравнение принципа возможных перемещений:
- M q (Р)5ф| + МС| (Рв)Ъц>2 =0.
Так как точка D общая для левой и правой ферм, то
8sd = 8ф] • DC\ = 5ф2 • DC2
или
бф2 = 5ф] DC, DC2
Введем обозначение:
С2К = Ь,
где С2К — плечо реакции RB относительно мгновенного центра С2.
Моменты заданных сил относительно мгновенных центров вращения:
|
Mq(P) |
= Pa, |
|
Следовательно, |
MC2(RB) = RBb. |
||
|
|
Г)Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
DC, |
так как 8ф, Ф 0, то |
|
а |
CjD |
|
RR = |
||
|
P- |
Сф |
|
|
|
Ь |
|
a DC2 |
где b — плечо реакции RB относительно |
||
О т в е т : RB = Р — |
|||
Ъ DC, |
|
|
|
мгновенного центра С2. Реакция RB направлена перпендикулярно плоскости скольжения катка В слева направо вниз.
47. Общее уравнение динамики
Методические указания к решению задач
Общее уравнение динамики, или принцип Лагранжа —Даламбера,
применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.
В соответствии с принципом Даламбера, если ко всем точкам несвободной механической системы приложить активные силы, силы реакций связей и силы инерции этих точек, то полученная совокупность сил будет эквивалентна нулю, т.е. механическая система под действием такой совокупности сил будет условно находиться в равновесии. Если к такой системе сил применить условия равновесия, выражаемые принципом возможных перемещений (принципом Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа—Даламбера: в любой момент времени при движении несвободной механической системы с двусторонними, идеальными, стационарными, голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точкам системы активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях системы равна нулю.
Общее аналитическое выражение этого принципа
(47.1)
k=1 к=I
ии
где £8А%, £SAk — сумма возможных работ соответственно активных
к=1 к=1 сил и сил инерции.
Так как
i s A t = i m r k ,
А=1 к~]
а
Х5А"к =
к=1 к-\
682 |
XI. Аналитическая механика» |
|
то выражение (47.1) можно представить в векторной: |
|
|
|
t ( F + 0 k № = O |
(47.2) |
и скалярной форме: |
|
|
+ |
+ (Fky + Oky)Syk+(Fkz+<Pkz) 8^1 = 0. |
(47.3) |
к=1 |
|
|
С учетом того, что сила инерции материальной точки Фк = —ткак, а ее проекции на оси координат
Фкх = -ЩХк> Ф ку=~ткук,
Ф*г =-/»*&> уравнения (47.2) и (47.3) можно записать в следующем виде:
t^k~m k a k )br k =% |
(47.2') |
к=\ |
|
п |
|
ZKflkx-ткхк)Ьхк + (Fky-ткук)Ьук +(Fkz-mkzk)5^1 |
= 0. (47.3') |
ы\ |
|
Если в качестве возможного перемещения выбрано угловое перемещение тела при вращении вокруг оси, то при составлении уравнения возможной работы сил она определяется как работа момента этих сил относительно оси вращения.
В методических указаниях к решению задач на принцип Даламбера (см. параграф 41) приведены формулы для вычисления главного
вектора Ф* и главного момента М и |
(Мф ) сил инерции при различ- |
|
ных движениях твердого тела. |
|
|
При поступательном движении |
|
|
Ф* = -Мас, |
М"= 0, |
(47.4) |
где а с - ускорение центра масс тела; М — масса тела.
При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела,
Ф* =0, М & = - / С г е , |
(47.5) |
где е — угловое ускорение тела; ICz — момент инерции тела относительно оси.
47. Общее уравнение динамики |
683 |
При плоскопараллельном движении
(47.6)
Общее уравнение динамики можно записать также в обобщенных силах или обобщенных координатах:
1(Q]+Qf)bqj= |
0, j = \,...,S, |
(47.7) |
где S — число обобщенных координат, равное числу степеней свободы механической системы; Q" — обобщенная сила активных сил; Qf — обобщенная сила сил инерции.
Формулы для вычисления этих сил даны во введении к разделу «Аналитическая механика».
Последовательность решения задач этого параграфа:
1.Приложить к рассматриваемой механической системе активные силы, отнеся к ним и силы трения, если связи неидеальные, и силы инерции тел, входящих в систему.
2.Определить число степеней свободы механической системы. а) Для систем с одной степенью свободы.
3.Сообщить возможное перемещение одной из точек (или тел)
ипоказать на рисунке возможные перемещения точек приложения всех сил (или возможные перемещения тел).
4.Записать сумму элементарных работ активных сил и сил инерции на всех возможных перемещениях и приравнять ее к нулю.
5.Выразить возможные перемещения всех точек через перемещение одной из точек тела.
6.Определить силы инерции и моменты сил инерции тел, входящих в систему, выразив их через ускорение тела, которое по условию задачи требуется найти.
7.Подставить полученные зависимости в уравнение возможных работ, решив которое, определить искомую величину.
б) Для систем с несколькими степенями свободы.
3.Выбрать независимые возможные перемещения точек системы, число которых равно числу степеней свободы.
4.Сообщить возможное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы системы, считая при этом возможные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю.
686 XI. Аналитическая механика»
Задача 47.2
Решить предыдущую задачу с учетом массы блока, считая, чтопри движении грузов блок А вращается вокруг неподвижной оси,- Масса блока — сплошного однородного диска — равна 2М.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы. Покажем на расчетной схеме (рис. 1) активные силы: силы тяжести грузов и блока, силы реакций связей, силы инерции грузов и момент сил инерции блока А.
Система имеет одну степень свободы. Считаем, что груз / движется с ускорением а, тогда угловое ускорение блока А
а |
Рис. 1 |
е = —, |
|
ускорения грузов 2 и 3 равны по модулю, т.е. |
|
а2 - |
а3 = ах = а. |
Найдем абсолютные величины сил инерции тел и момента сил инерции блока, входящих в систему:
ф, = ф 2 = ф3 |
= Ма, |
(1) |
|||
,,и |
, |
2Mr2 |
а |
.. |
|
Ми |
= /е = |
|
|
= Мга. |
|
Сообщим грузу / возможное перемещение 8s, такое же перемещение получат и два других груза. При этом возможное угловое перемещение блока А
~ 85 8ф = —.
г
Составим общее уравнение динамики для рассматриваемой системы, т.е. приравняем к нулю сумму работ активных сил и сил инерции на возможных перемещениях системы:
Mg8s - - Л/И8ф - Ф28^ - Ф385 = О
688 |
XI. Аналитическая механика, |
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение данной системы, имеющей одну степень свободы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести грузов, а. также силы инерции грузов; считаем, что груз М2 движется вниз.
Выразим ускорение грузов через угловое ускорение барабанов:
ах - £/•], а2 = ег2.
Найдем абсолютные величины сил инерции грузов:
Ф] = Мхах - М\Гхг,
Ф2 = М2а2 - М2г2е.
Сообщим барабанам Возможное угловое перемещение 3<р, тогда возможное перемещение груза Л/,
б*, = л-)8ф, |
(1) |
а груза М2 |
|
ds2 = r28ф. |
(2) |
Составим общее уравнение динамики для рассматриваемой системы с идеальными связями, т.е. приравняем к нулю сумму работ активных сил и сил инерции на возможных перемещениях системы:
М ^ 2 - Ф2 &2 - MygdSi - Ф]5£] = О или с учетом выражений (1) и (2)
М^г25ф - М2г2гг25ф - M\grfiф - Л/^Е/^бф = О,
[{М2г2 - Мм)g- (Л/, /j2 + М2$)Е] бф - 0.
Так как бф Ф 0, то
(М2г2 - Мм) g - (Mrf + M2r}) е = 0.
Откуда угловое ускорение барабанов
£ = g М2г2 -М\ГХ Г\ + М2г2
О т в е т : e = |
— |
г2 |
|
М\Г\ +М2 |