Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
108
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

730 XI. Аналитическая механика,

Для этого при фиксированном положении механизма сообщим ему возможное перемещение 5ср Ф 0 и вычислим элементарную работу:

8Л = Мир.

Тогда

8ф

(4)

 

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (1), обозначим ф = е и получим

М

£ =

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения отдельно для шестеренки 1 (рис. 2):

Тогда

S/j =/,ф1.

 

 

так как

1

 

I .

/

.

ф, = _ ф

= _ е .

П1

О т в е т : е =

М

 

 

Л2'

К

Рис. 2

 

 

/ 0 + m , / 2 + - V

 

 

 

 

Задача 48.7

В планетарном механизме колесо с осью О i неподвижно; к рукоятке 0|<?з приложен вращающий момент М\ механизм расположен в горизонтальной плоскости.

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

731

Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами т и радиусами г и пренебрегая массой рукоятки.

Р е ш е н и е

Принимая за обобщенную координату q угол поворота рукоятки 0\0Ъ планетарного механизма <р (см. рисунок), имеющего одну степень свободы, составим уравнение его движения, используя уравнение Лагранжа 2-го рода:

±{K\K

= Q

 

(О

off V Эф J

Эф

9

 

Поскольку колесо 1 неподвижно, то кинетическая энергия системы

Т = Т2 + Т3.

 

Кинетическая энергия колеса 2

 

 

 

 

Т

1

2

1 , -2 1 2 , 1 1

2(VCh)2

 

 

Тг

= -«ЪЩ

+ - /2ф2 = -Щvch

+ - • ~гпгг11 —- I =

 

 

 

 

= -ffJ2Vo2 = - т ( 2 г ф ) 2

= 3/яг2ф2,

где тг =т\ /2= -т2г2,

так как колесо 2 является однородным диском;

 

 

Vn

 

 

 

 

 

ф2

= со2

= —2., поскольку точка А"| — МЦС колеса 2; v0l =0t02m = 2np.

 

 

г

 

 

 

 

 

732

 

XI. Аналитическая механика,

Кинетическая энергия колеса 3

 

Г3

= jm3Vo3

=^ш(4гф)2 = 8тг2ф2,

где /и3 = т; v0} = 0\03 • со = 4гф. Так как

vKl = 2/-ф2 =2г-2ф = 4гф,

где ф2 = г = г = 2ф; vKl = v0} = 4гф. Следовательно, колесо 3 совершает круговое поступательное движение и со3 = 0.

Врезультате получим

Т- 3/яг2ф2 + 8т/"2ф2 = 11/яг2ф2.

Определим производные от кинетической энергии, входящие в уравнение (1):

d fdT)

2-

дТ

. .

• d v

= 22шг ф;

— = 0.

(2)

dt ^ Эф )

 

Эф

 

Определим элементарную работу, учитывая, что механизм расположен в горизонтальной плоскости и поэтому силы тяжести работы не производят:

8А = Мир.

Тогда обобщенная сила

 

 

Qf

= ^- = M.

(3)

 

8ф

 

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и найдем угловое ускорение рукоятки

„

О т в е т :

Ф - £i - ZZМ

2 •

22 mr

 

е, = М

22mr

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

 

 

733

Задача 48.8

 

 

 

Бегуны К, К приводятся в движе-

^Л

ps

 

ние от вала двигателя при помощи пе-

к

• к

редачи, схема которой показана на ри-

|~~|

Ш —

сунке. Масса одного бегуна равна 3 т,

 

ч'

сч

средний радиус R = 1 м, радиус вра-

 

 

 

щения г — 0,5 м. Считаем, что мгно-

<L'J>

с

венная ось вращения бегуна проходит

^ / / / V

 

 

через среднюю точку С обода. Отноше-

KJ777F

 

 

ние радиусов колес конической пере-

 

 

 

дачи от двигателя к вертикальному валу равно 2/3. Бегун считаем однородным диском радиуса R и пренебрегаем массой всех движущихся частей по сравнению с массой бегунов. Вычислить, какой постоянный вращающий момент должен быть приложен на валу двигателя, чтобы сообщить вертикальному валу угловую скорость 120 об/мин по истечении 10 с от момента пуска двигателя; силами сопротивления пренебречь.

Р е ш е н и е

Определим вращающий момент на вертикальном валу М* (см. рисунок) через передаточное отношение:

М г2

г2 2

где М, М* — крутящие моменты соответственно на горизонтальном и вертикальном валу; /*2 и /*з — радиусы колес 2 и 3.

Приняв за обобщенную координату q угол поворота вертикального вала ф, запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

rffar

дТ

=q9.

(1)

Л^Эф

Эф

734

XI. Аналитическая механика,

Кинетическая энергия бегуна К, совершающего сферическое дви жение,

7] = Те + Тг,

где Те, Тг — кинетическая энергия бегуна соответственно в перенос ном вращении вокруг вертикальной оси и в относительном враще> нии вокруг горизонтальной оси:

 

 

fmR2

 

. ?

 

 

 

 

Ф£.

 

 

 

71 = {

4

-+mr

2 '

 

 

 

 

_mR2

ф2

 

 

 

 

Тг

=

 

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФЕ

=

Ф,

 

 

 

 

Фг =

va

 

 

 

 

 

 

— :

 

R

R'

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+mr2 ф2

 

 

 

2 „2

 

.2 Л

71 =

mRl

+

mRl

ф"т2

_ /яф'

Зг + R

 

4

2

 

2

2/г2

 

 

Кинетическая энергия двух бегунов

 

 

 

 

7 = 27; = - т

Зг2 + R2 Ф2-

 

Найдем производные от кинетической энергии, входящие в уравнение (1), подставим их в левую часть уравнения и получим

 

— = 1»

2 Л

 

£(

Зг2 R

ф.

(2)

dt ^ Эф )

Эф

 

 

 

Определим элементарную работу на возможном перемещении 8ф. Так как силы тяжести работы не совершают, а силами сопротивле- ния согласно условию можно пренебречь, получим

ЪА = Л / * 5 ф .

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

 

 

 

735

Тогда обобщенная сила

 

 

 

 

 

ЪА

М*=>-М.

(3)

 

5ср

 

2

 

Подставим выражения (2) и (3)

в уравнение (1):

 

2

 

R

2 Л

( 4 )

—т Зг2 +

ф=Л/.

3

V

 

 

 

Так как вал двигателя вращается с постоянным ускорением е = ф, то кинематические соотношения приобретают вид

 

со

пп

120л

= 0,4л.

 

со=е7=>е = ф = — =

301

ЗОЮ

 

t

 

Подставим это значение ф в выражение (4)

и вычислим постоян-

ный вращающий момент

 

 

 

М = 0,8пт 3

0,8-3,14-3-10

3-0,52 +— 1 = 3140 (Н • м).

О т в е т : 3140 Н • м.

Задача 48.9

Груз М массы 101 кг поднимает с помощью полиспаста груз Мх, который вместе с подвижной обоймой имеет массу 320 кг. Всех блоков четыре, большие блоки имеют массу по 16 кг, малые — по 8 кг, радиусы больших блоков равны г, радиусы малых равны г,. Определить ускорение груза М. При определении энергии блоков предполагаем, что массы их равномерно распределены по окружностям.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату q перемещение х2 груза М (см. рисунок), запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

sL(K}-*L=q.

( 1 )

dt {с)х7 J

дх2

736

XI. Аналитическая механика

Диски с и d вращаются вокруг неподвижных осей, грузы М и My движутся поступательно, а диски а к Ь совершают плоскопараллельное движение, поэтому кинетическая энергия системы

2

2

2

2

2

2

2

Учтено, что скорости центров дисков а и b при поступательном движении равны, т.е. va = vb = хх.

Сдругой стороны,

,Vjf, = ф4-2/| = 2х,;

vk2

~ VK,

.

Vfl =

L =» *1 =

 

v*, - va

3x2

 

r

Ar

Кроме того,

х2-„2хх

•Xi =X-2у- =>.фА =Xi b.

 

 

4

 

4/j

.

2xj

x2

.

x2

 

Г\

2rx

 

r

 

 

Ia = Id

=mar2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lb = Ic=mbry2, mb =

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г =

Л/ + — M,

 

 

+-ma-—mar2

16r2

 

 

 

2 I

16

'

 

 

2 °

16

 

 

 

 

na a

ma'\

Г

 

2

1

 

 

 

 

+ —П

ч +—

2

 

4л;

7+>V

"T

 

 

 

 

2

16/-,2

 

 

 

 

r2

 

 

= x±

1

м

Г 3

9

1

 

1

i

i-2

M

 

58

2

M + — MI +/7jJ

+ — +

 

 

+ - + 1

2

+ — Mi +—mn .

16

 

Л32

16

32,

8

 

1

16

32

Найдем производные от кинетической энергии, входящие в уравнение (1), и подставим их в левую часть этого уравнения:

d(dT\

3 Т

=

(

1

58

\

х2.

 

—

Эх2

I

М + — М1 + — т а

)

(2)

dt\dx2)

 

16

32

 

 

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

737

Определим обобщенную силу Q, Для этого сообщим системе возможное перемещение и вычислим элементарную работу:

 

f

3

 

 

 

М| -I—т„

5Л = Mgbx2 -(М,

+та +mb)gbx\ =

2

±М gbx2.

Тогда

8А ( Л/, 3

 

 

 

 

(3)

Q -

1

 

 

 

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и определим ус-

корение груза М:

 

 

 

 

 

 

 

 

м

М \

 

3

 

1 0 1 - ^ - 1 - 1 6

 

„

М

 

 

---т„

 

*2 =

4

 

8

 

 

4

8

 

„ = 1 1 „ = 0 1g

Л/,1

 

58

т„

101+

320

. 58- 1,

6r

g 150

М +

'

 

16

 

32

 

 

16

32

 

 

О т в е т : 0,lg.

Задача 48.10

В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции I (относительно своей оси) и несет неуравновешенную массу т на расстоянии г от оси. Написать дифференциальное уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату q угол поворота ротора <р (см. рисунок), запишем уравнение Лагранжа 2-го рода в потенциальном поле сил тяжести:

(1)

где L - Т-Л — функция Лагранжа.

738

XI. Аналитическая механика,

АВ

mgs'ma

Кинетическая энергия системы

Т = V

потенциальная энергия системы

Я = mgrsina(l - coscp).

Тогда функцию Лагранжа

L = - - +/иг2ф2 -/ngrsina(l - coscp).

Найдем производные от функции Лагранжа, входящие в уравнение (1), подставим их в это уравнение и получим

(I+mr2)fy+mgr sinasincp = 0.

(2)

Для малых колебаний sin ср = ср. С учетом этого уравнение (2) запишем в виде

ф+£2ф = 0,

где к = r^rsma _ к р уГ О В а я ч а с т о т а свободных колебаний.

V I+mr2

О т в е т : (/ +/wr2)<f>+wg/-sinasin9 = 0, где ф — угол поворота ротора;

^[mgrsum

I+mr2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

739

Задача 48.11

Однородный конус катится по шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Длина образующей конуса /, угол раствора 2(3. Составить уравнение движения конуса.

Указание. За обобщенную координату принять угол 9, образованный соприкасающейся образующей с прямой наибольшего наклона плоскости.

Р е ш е н и е

Определим положение центра тяжести С конуса, т.е. АС, и введем обозначение S (рис. 1):

 

А

 

 

 

 

 

 

 

VS

=jnr2zdz.

 

 

 

 

 

 

 

Так как

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

Z

 

 

 

 

 

 

 

а

А '

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

az

 

(1)

 

 

 

 

 

г = •

 

 

 

 

 

 

 

И '

 

 

 

 

 

 

 

После интегрирования получим

 

 

 

 

 

 

 

1

2/ с

a h

 

 

 

 

 

-па

hS = п^г

—

 

 

 

 

 

3

 

h2

4

 

 

 

 

 

 

S = 4*h.

 

 

 

 

 

Тогда

6 = 5cosp = -3/7 cos(i = -3 /cos2 p.

 

 

 

 

 

 

 

Определим момент инерции 1А кону-

 

 

 

 

 

са относительно его образующей (рис. 2).

 

 

 

 

 

По теореме о моменте инерции относи-

 

X

 

 

iz

тельно прямой, образующей угол р (л/2 - Р)

 

 

 

с осями, для выделенного элементарного

ч

I z

1

\

У

диска массой dm запишем:

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

. г

J.

г .

 

 

 

 

 

 

 

dIA = <//A.cos2p + rf/, sin2p

 

 

 

Рис.

2

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности