doc2

Задача 48.51

Колесо катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус колеса а, его масса М; С — момент инерции относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости колеса через его центр; А — момент инерции колеса относительно его диаметра. Составить уравнение движения колеса.

Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для неголономных систем.

Р е ш е н и е

Рассмотрим качение колеса без скольжения по горизонтальной плоскости и абсолютное движение колеса по отношению к неподвижной системе координат Oxyz с началом в точке касания колеса с плоскостью. Подвижную систему отсчета р, q, г соединим с колесом. В этом случае углы Эйлера будут характеризовать: угол ф — поворот колеса вокруг оси, перпендикулярный его плоскости,

угол 0 — наклон плоскости колеса к горизонту, угол у — азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и проходящей через точку касания.

Тогда координаты точки касания S:

xs = x; + acos0sin\j/,

ys = У~ a cos0 cosy,

Zs = a sin 0.

Найдем проекции скорости центра колеса на декартовы оси:

xs = x+a(-0sin0sin\|/+\j/cos0cosy),

ys = j + a(0sin0sim|/+vj/cos0sin\|i),

Zs = a0cos0.

<H8\j/J ду

dtW) дв

После подстановки L получим

А., = т[х+a(ij/ cos 0 cos у - 0 sin 8 sin у)], A,2 = w ( j + <z(vj/cos8sin\|/-8sin 8 cosy)], -^•[C^+\j/cos8)] = -a(l.x cosy+sirnj/),

ma [cos9 (x cosy+у siny)+ay cos2 8]+

+ С [cos8 (ф+\j/cos8)] +—(Лу sin2 0) - dt

- ma [y cos 0 (y cosy - xsiny) - 8sin 8(y siny + x cosy)] = 0,

—ff7asin8(>,cosy+xsiny) + (^ +ma2)Q- dt

-/wa[0cos0(y c o s y - xsiny) -vj/sin0(xcosy+ у siny)] +

+ma2 xjr2 sin 0cos0+ Ctysin 0(ф+\j/cos0) - Луsin 9cos 8+mga cos0 = 0. Решим полученные уравнения с условием, что

у cosy - xsiny = 0, j s i n y + x c o s y = аф,

и получим дифференциальные уравнения движения колеса:

(та2 + С)—(ф+у cos 8) - та20\j/sin 0 = 0, dT

(А + та2) 9 + (та2 + С)у sin 8(ф+у cos9) - Лу2 sin 9cos 9+mga cos 8 = 0,

и->

-(.4ysin 0) - С(ф+ycos 9) 0 sin 8 = 0. dt

в положении равновесия системы С0, расстояние между пластинами в этом положении а, масса подвижной

пластины конденсатора т. Ввести электрические и механические обобщенные координаты и составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.

Указания. 1. Потенциальная энергия конденсатора равна V = q2/2C (С — емкость конденсатора, q — заряд на его обкладках); электрокинетиче-

2.За обобщенные координаты принять изменение заряда конденсатора q

исмещение пружин из положения равновесия. Тогда полный заряд будет q0 + q, а полное смещение х0 +х\ здесь qo — заряд конденсатора, а х0 — смещение пружин от нейтрального положения в положение равновесия системы.

Р е ш е н и е

Электромеханическая система, состоящая из конденсаторного микрофона и колебательного контура, имеет две степени свободы.

Для определения обобщенных сил найдем потенциальную энергию электромеханической системы, которая равна сумме: Яупр — сил упругости пружин конденсаторного микрофона, ЯК0Нд — конденсатора, ЯЭ дс — электродвижущей силы:

П = Пупр + Яконд + ЯЭдс,

Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил Qx и Qq в уравнения (1) и (2) и с учетом выражений (3) получим

Этим обобщенным координатам соответствуют уравнения Ла-

Кинетическая энергияdt{dqэлектромеханической системы равна сумме кинетической энергии механической части Тх и электрокинетической энергии Т2 электрической цепи:

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

С учетом потери напряжения на основании закона Ома найдем значение электродвижущей силы в цепи:

E* = E-Rq.

Вычислим обобщенные силы:

Mg&x-cxbx -Mg~ сх,

Подставим выражения (3)-(5) в уравнения (1) и (2) и получим дифференциальные уравнения, описывающие состояние электромеханической системы:

Lq + Щ+xq— Эх =

В положении равновесия система находится в покое, т.е. х = 0, х = 0, х- х0, q = i0.

Тогда

где Ri0 = Е.

О т в е т : уравнения движения: Lq + Rq + xq— = Е; дх

Mx--^-q2+CX~Mg.

2 Эх

В положении равновесия х = х0 и i = q-/0, где /0 = E/R,