doc2
.pdf810 |
|
|
|
|
|
XI. Аналитическая механика |
|
Кинетическая энергия точки В |
|
||||||
|
|
|
|
|
Тг = \™\ . |
(4) |
|
Найдем v|. Для этого запишем координаты точки В\ |
|||||||
|
хв = /?cos<p+/cosy, |
ув = 7?sin ф+/ sin у. |
|||||
Продифференцируем эти выражения по времени: |
|||||||
хв |
= —i?0sinф—/ysiny, |
ув = / ? ф c o s Ф - / у c o s y . |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
vj = х в + у в |
= (Лфвш ф+ty cos у)2 + ( Щ cos ф + / у cos у)2 |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vg = R2 ф2 +2/ЛфуС05(ф-у) + /2 у2 . |
||||||
Подставим это выражение в формулу (4) и получим |
|||||||
|
|
_ m\R2(p2 +2/Дфу cos (ф - у)+/ 2 |
у 2 |
||||
|
т — |
|
|
|
г*"1 |
||
|
П |
- |
|
|
|
2 |
|
Тогда согласно формуле (3) кинетическая энергия системы |
|||||||
|
т __ MR2у2 |
+m[R2ф2 |
+2//?фусо5(ф - у)+/V] |
||||
или |
|
4 |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = i ^ - Л / +/W |
+ о т В Д с о 5 ( ф - у ) + |
1 » / у . |
|||||
Найдем производные от выражения кинетической энергии: |
|||||||
|
|
|
/ j |
|
\ |
|
|
|
|
= |
- A / + W Л2ф + /я//?\]/С05(ф-у), |
||||
|
Эф |
12 |
|
) |
|
|
|
— — = \ — М +ш |
Л2 ф+/и/Л^со5(ф-у)-/иЛ/(ф-у)узт(ф-у), |
||||||
dt V Эф) |
\2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
ЪТ |
= -mRI |
фузт(ф-у); |
|
|
|
|
|
— |
|
|||
|
|
|
Эф |
|
|
|
|
|
|
Э Т |
= /и/2у+от/?/ф cos (ф-у), |
|
|||
|
|
— |
|
||||
|
|
Эу |
|
|
|
|
|
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
811 |
|
d_ |
= т1г$+т Л/фcos(9 - у) - mRl(ф - \j/) ф sin(<p - v|/); |
|
dt dij/ |
||
|
ЬТ |
= /яЛ/фф5т(ф-\|/). |
|
— |
|
|
Э\|/ |
|
Определим обобщенные силы Q\ и Q2. Сообщим системе возможное перемещение: 5ф>0, 5\|/-0, и определим возможную работу:
8Д = -/ng/?sin9- 8ф = 8Ф.
Откуда
й = -mgRsiny.
Сообщим системе возможное перемещение: 8ф = 0, 8\|/>0, и определим возможную работу:
8А2 - -mgl simy- 8\|/ =
Откуда
Q2 = -mgl sinу.
Подставим выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил Qt и Q2 в уравнения (1) и (2) и получим уравнения движения системы:
{^M+tn^R' ф+mlRfy cos (ф-у)-/иЛ/(ф-\|/)ф5т(ф-у) -
- теЛ/ф1(/8т(ф-\)/) = -mgRs'mq,
от/2^+m7?/ff>cos(9——/и/?/ (ф—\jr) sin(ф—\|/)—ш/?/\|/ф sin (ф-у) =
|
- —mgl sin\|/ |
или |
|
2 |
+m ]/?ф+mta? cos (ф -\|/)+/и/ sin(ф -\|/)v/2 +mgR sin ф = О, |
|
Afr+ Лф cos (ф - \|i)-R sin (ф - у) ф2 + g sinxj/ = 0. |
О т в е т : |
^ + m^Лф+mNfcos(<$ -\\i)+ml\j/2 sin (ф - у) + mgRsin ф = 0, |
|
/у+ R cos (ф-\|/)ф- /?5т(ф-\|/)ф2 +gsin\|/ = 0. |
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
813 |
Для определения v\ запишем координаты точки В, учитывая, что
ф = СО/: |
|
|
|
|
хв |
= Лcosсо/+/ cos у, |
ув = /?sin соt+l sin у. |
||
Продифференцируем эти выражения по времени: |
||||
х в = - Acosinotf-Aj/siny, |
у в = Лсосosco/ - / у c o s y . |
|||
Тогда |
|
|
|
|
vi = Хв+?в |
= (Лш51псо/ — Л|/ sin у)2 + {R cocoscof - /у cos у)2 = |
|||
|
= R2со2 + 2/Дсоуcos(co/ - у ) + / V - |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Т2 = ™[Л2со2 +2/Лсо\]/ cos ( с о / - у ) + / У ] . |
|||
Подставим выражения Г, и |
в формулу (3): |
|||
Г = ^ 4^ |
+ -2[/?2со2 + 2//?coy cos (со/ - у ) + / У ] |
|||
или |
|
|
|
|
Т = I Jm + y j f l V + /иЛ/соуcos(co/ - у ) + ^ - т / V - |
||||
Найдем производные от выражения кинетической энергии: |
||||
|
дТ |
|
^ |
|
|
— |
|
- mly+mRl® cos (со/ - у ) , |
|
|
эу |
|
|
|
g y r V
d'/— =m /2 -mi?/ca(co-y)sin(c0/-y); dt Зуу
дТ
— =ff?/?Aj/cosin(co/- у). Эу
Определим обобщенную силу Для этого сообщим системе возможное перемещение: 8у > 0, 8ф = 0, и определим возможную работу:
дАv = -mgl siny • 5у = Qv Sy.
814 |
XI. Аналитическая механика |
Откуда
= -mgl sin\j/.
Подставим выражения производных от кинетической энергии и обобщенной силы в уравнение (1) и получим уравнение движения материальной точки:
ml2yif - /яЛ/cosin (со/-\|/)(co-\J/)-/ггЛ/covj/sin (со t - \|/) = -mgl siny
или после упрощения |
|
|
|
, R |
g |
|
\j/-or—sin(co/-у) +—siny = 0. |
|
|
/ |
I |
О т в е т : |
.•Л |
£ , |
ysin(M/-\|/) + ysimj/ = 0. |
||
Задача 48.43
Составить уравнения движения математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия /, ее жесткость равна с. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол (р отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити z.
Р е ш е н и е
Система имеет две степени свободы.
В качестве обобщенных координат выбе- о рем: ср — угол отклонения маятника от вертикали, х — удлинение упругой нити. Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:
d_ дТ |
(2) |
|
dt Эф эФ ^ |
||
|
||
Кинетическая энергия маятника |
|
|
. К б |
|
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
815 |
Так как маятник совершает сложное движение, то % = Ve + Vr.
Учтем, что v e lv r , тогда
Va6 = V2 + V2,
где v2 = (/ + х)2ф2; v2 = х2.
Тогда
va26 = (/ + х)2ф2 + х2,
/Яг |
.2 |
( / + |
х)2ф2]. |
|
Г = ^ |
2 |
+ |
||
2 |
1 |
|
|
|
Найдем производные от кинетической энергии:
дТ
— = шх,
Эх
— |
— \ = тх, |
dt\dx) |
|
^дх |
= m(/ + x) ф2; |
— |
= /я(/ + х)2ф; |
Эф |
|
= m(l + х)2ф+2m(l + х) фх,
Эф
Найдем обобщенные силы. Для этого сообщим системе возможное перемещение, при котором 5ф>0, &с = 0. Тогда
5Л<р = £?<р5ф = ~mg(l + x)sin ф- 8ф.
Откуда
Qv =-mg(l + x)si пф.
816 |
XI. Аналитическая механика |
Сообщим системе возможное перемещение, при котором бф = 0, 8х>0. Тогда
= QxSx - [mg созф- с(х0 + х)] Sx.
Откуда
Qx = да^совф-схо - сх, но учитывая, что в положении равновесия
сх0 -mg,
получим
Q , = - ( > n g ( l - C O S $ ) + Cx].
Подставим выражения производных от кинетической энергии
и обобщенных сил |
и Qx в уравнения (1) и (2) и получим |
|
||
|
тх-т{1 + х) ф2 = -mg{\ - cosq>) - сх, |
|
||
или |
т(1+х)2ф+2 т(1 + х) фх = -mg(l + х) sin ф |
|
||
|
|
|
|
|
|
Х~(/ + Х)ф2+ —Х + ^(1-СО8ф)=0, |
(3) |
||
|
|
т |
|
|
|
|
(/ + х)ф+2лгф+^8Шф = 0. |
(4) |
|
Учтем, что относительное удлинение |
|
|||
|
|
|
х |
|
|
|
г = |
Т |
|
тогда |
х, Ц = х. Подставим z и z в уравнения (3) и (4): |
|
||
|
г-(1+г)ф2 +~г+4(1-со8ф) = 0, |
(5) |
||
|
|
т |
I |
|
|
|
(1+г)Ф+2гФ+^8тф = 0. |
(6) |
|
Так как колебания — малые, считаем, что ф2 =0, 2ф = 0, со8ф = 1, sin ф = ф.
Тогда уравнения (5) и (6) примут вид
. . с п
Z+—Z = о,
т
ф+^Ф = 0.
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
|
817 |
|
Решения этих дифференциальных |
уравнений: |
||
|
Z = Asinf^l— 1 + ос |
|
|
|
\т |
|
|
|
9 = i ? s i n ^ / + p\ |
|
|
где А, а, В, р — произвольные постоянные. |
|||
О т в е т : (1 + г)ф+2гф+—8Шф = 0; г-(1 +<:)ф2 |
+— Z+ —О-соэф) = 0; |
||
|
/ |
|
m l |
Z = A |
t + а j i = |
? + |
где Л, а, В, р — про- |
извольные |
постоянные. |
|
|
Задача 48.44
Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке О. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.
Р е ш е н и е
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем: ф — угол отклонения нити от вертикали, р — удлинение нити.
Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:
818 XI. Аналитическая механика
Найдем кинетическую энергию системы: |
|
||||
|
|
|
„2 |
I ,.л2 |
|
|
|
|
J - fflVa6 + |
IcMб |
(3) |
|
|
|
2 |
2 ' |
|
|
|
|
|
||
где /Q = |
tnR2 |
|
£) |
|
|
|
; соа6 - — - ф — абсолютная угловая скорость цилиндра; |
||||
|
2 |
|
R |
|
|
v26 = *с + |
Ус — абсолютная скорость центра масс цилиндра. |
|
|||
Определим координаты центра масс (точ- |
|
||||
ка Q однородного цилиндра (см. рисунок): |
|
||||
|
|
|
xc=OK-BD, |
|
|
|
|
|
Ус = АВ+ВС, |
|
|
где OK = pcoscp, BD = Z?sin <p; AB = KD = psinip, |
|
||||
BC=Rcosq>. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
xc |
= pcostp- Rsmq>, |
|
|
|
|
yc |
= psin<p+/?cos<p. |
|
|
Найдем производные от этих выражений по времени: |
|
||||
х с = рсовфрфвтф - ЛфСОБф, Ус = psin ф+ рфсовф—Лфвш ф.
Определим абсолютную скорость центра масс цилиндра:
va6 = (рСОБф— рфвШф — ЛфСОБф)2 + (р5Шф+рфСОБф-i&psin ф)2 =
=р2 COS2 ф + р2ф2 sin2 ф + Л2Ф2 COS2 ф-2ррфС05ф5Шф-2ЛрфСОЗ2 ф +
+2 Лрф2 sin фcosф + р2 sin2 ф + р2ф2 cos2 ф + /?2ф2 sin2 ф+2 ррфcosф5т ф -
- 2 Лрфвш2 ф - 2 Лрф2 sin фсов ф или после упрощения
v26 =(р-Лф)2 + р2ф2.
Подставим полученное значение в формулу (3) и получим
Т = i-m[(p - Лф)2 + р2ф2] + - ф J
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
819 |
или
г- Яф)2 +
Найдем производные от выражения кинетической энергии:
|
Эф |
2 |
|
|
Jt ® |
: = |
2 |
- |
+4<wp2(P)' |
Эф; |
|
dt |
||
op |
2 |
|
дТ |
3 |
|
= |
-/и(р-/?ф), |
|
dt dp) |
|
|
ЭГ |
.2 |
|
Эр |
|
|
Определим обобщенные силы |
и £?р- Для этого сообщим ци- |
|
линдру возможное перемещение, при котором 5ф > 0, 8р = 0, и определим возможную работу:
5Л<|> = 0ф5ф = - (/wgpsiп ф+mg/гcosф) 8ф,
откуда
Q<f = - w g p sin Ф - mg/? cos ф.
Сообщим цилиндру возможное перемещение, при котором 8ф = О, 8р > 0, и определим возможную работу:
ЬАр- QpSp = mg соБф8р,
откуда
£>р=т£С08ф.
Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил Qv и Qp в уравнения (1) и (2):
3 |
d |
ф) = -mgpsin9-mg/Jcos9 |
—/яЛ(р-R$)+m—(р2 |
||
2 |
dt |
|