doc2

Угловая скорость вращения вокруг мгновенной оси АА: civ + 9 = со0,

coe = 9ctgp = 9 ^ . sinp

Определим функцию Лагранжа:

x [cos2 p + -|92 --A/g/cos2 P cos 9 sina

Найдем частную производную от L по обобщенной координате 9 и производную по времени, подставим их в уравнение Лагранжа:

«/Дэе; Э9

и получим уравнение движения конуса

Пх

/2[ cos2p + - |9 + g/sinasin9 = 0

Задача 48.12

Материальная точка массы т движется под действием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s — 4с sinф, где s — дуга, отсчитываемая от точки О, а ф — угол касательной к циклоиде с горизонтальной осью. Определить движение точки.

Второй способ. Задачу проще решить, не применяя уравнения Лагранжа 2-го рода. Достаточно записать уравнение движения точки в проекции на касательную ось к циклоиде, т.е.

ms - -mg sin ф.

1и

От в е т : s = Asin^-^— / + ф0 |, где А и ф0 — постоянные интегрирования.

Задача 48.13

Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки М массы т, подвешенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса а. Длина свисающей в положении равновесия нити равна /. Массой нити пренебречь.

Р е ш е н и е

В качестве обобщенной координаты q возьмем Э — угол отклонения маятника от вертикали. Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

(О

<//UoJ Э0 эе'

Кинетическая энергия Т маятника

..2

т = mv

где v = (/ + <з0)6.

Тогда

г _ / и ( / + де)292

2

Работа А, затраченная на отклонение маятника,

А = -mgh,

так как

h = / - j> = / + asin0-(/ + a9)cos0,

ЗА

— = -mgt мпф;

Э ф

d (дТл = т/2ф+2/и//ф. dt ЧЭфу

Подставим эти выражения в уравнение (1): ml2 ф+2т//ф = -mgl sin ф.

После сокращения на ml2 получим

/ я

ф+2уф+у5Шф = 0.

/а

От в е т : ф+2 у ф + у sin ф = О, где ф — угол отклонения нити от верти-

кали.

Задача 48.15

Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы m на нерастяжимой нити длины /, движется по заданному закону = (?) по наклонной прямой, образующей угол а с горизонтом. Со-

ставить уравнение движения маятника.

Р е ш е н и е

Выберем в качестве обобщенной координаты q угол ф (см. рисунок). Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

d_(dT)_(W = dA dt I, Эф J Эф Эф

Ф| /а

mg

Абсолютная скорость маятника складывается из переносной скорости точки подвеса и относительной скорости маятника:

va6 = vx + Vy = (/фСОБф+ 4cosа)2 +

+ (ftpsinф+|sin а)2 = /2ф2 + + 21 cos (ф- а).

Кинетическая энергия маятника

Г = ^ ^ [ / 2 ф 2 + 42 + 2/ф4со8 (Ф -а)].

Работа силы тяжести

А = [mgl(\ - соБф) + ^sin а].

Найдем производные, входящие в уравнение (1):

дГ

Эф

ЭЭфТ= а);

дАЭф = -mgl sin ф.

Подставим эти выражения в уравнение (1) и получим дифференциальное уравнение

/яр2ф+/ % cos (ф - а) - /ф£ sin^ - а)+/ф| sin (ф - а)] = - mgl sin ф

ср+у sin ф + у сов(ф - а) = 0.

дt

От в е т : ф + у 5 т ф + у С 0 5 ( ф - а ) = 0.

Задача 48.16

Два вала, находящихся в одной плоскости и образующих между собой угол а, соединены шарниром Кардана. Моменты инерции валов равны /| и /2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент М\, а к другому валу приложен момент сопротивления Мг. Трением в подшипниках пренебречь.

Р е ш е н и е

Выберем в качестве обобщенной координаты q угол поворота ф первого вала. Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

Кинетическая энергия системы

•л

J _ h Ф' , h m 1

cosa

где /,2 = 1 -sin2 a cos2 ф— передаточное отношение шарнира Гука.

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

Э Т = (/, +/2/|2)ф;

Эф

Для определения обобщенной силы Qv найдем элементарную работу

бА - Л/,5ф-M2i\2бф.

Тогда

Выражения (2) и (3) подставим в уравнение (1) и получим диф-

О т в е т : обозначая через ф угол поворота первого вала, имеем

Задача 48.17

Кривошипный механизм состоит из поршня массы , шатуна АВ массы т2, кривошипа ОВ, вала и махового колеса; /2 — момент инерции шатуна относительно его центра масс С; /3 — момент инерции кривошипа ОВ, вала и махового колеса относительно оси; Q — площадь поршня, р — давление, действую-

щее на поршень, / — длина шатуна; s — расстояние между точкой А и центром масс шатуна, г— длина кривошипа ОВ\ М — момент сопротивления, действующий на вал. Составить уравнение движения механизма, считая угол поворота шатуна у малым, т.е. полагая sin\|/ = \y и cos\|/ = l; в качестве обобщенной координаты взять угол поворота кривошипа (р. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Р е ш е н и е

Приняв в качестве обобщенной координаты д угол поворота кривошипа ф, запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

(i)