doc2

Определим кинетическую энергию системы:

т = т0+т1 + т2,

где Т0 = i /„cog; 7] = 17, со?; Г2 = i /2со|.

Так как со2 = ф, coj = /|2ф, COQ = /01со}, получим

Найдем производные, входящие в уравнение (1):

Для определения обобщенной силы найдем элементарную работу

8А = (Л/0 - Л/0')5ф0 - М,Ъ(р, - М25ф = [(М0 - Mo)iQii12 - Mfi]2 - Л/2] 5ф,

где 8ф0 =/о1'Ъ8ф; 5ф, = г')28ф (аналогично соотношению угловых скоростей).

Тогда

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим искомое дифференциальное уравнение вращения барабана центрифуги:

(Vol '12 + h'l.2 + /г)ф = (М) - Л/о)'о|'12 ~ M(il2 - М'2.

О т в е т : (/0/02,/,22 + /,/,22 + /2)ф = (М0 - Л/о)/01 /,2 - Л/,'/,2 - Л/2'.

Задача 48.3

Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД и одноступенчатого редуктора с передаточным числом ;'. Составить дифференциальное уравнение движения электромобиля, если /0 — момент инерции ротора электродвигателя, 1| — момент инерции каждого из четырех колес, имеющих радиус г , т — суммарная масса электромобиля, М — вращающий момент электродвигателя, М ' — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F — суммарная сила сопротивления движению электромобиля.

Р е ш е н и е В данном случае уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид

(1)

За обобщенную координату принято поступательное перемеще-

Кинетическая энергия четырех колес во вращательном движении

= 4 —/,со?= - 4 / ,4 .

Кинетическая энергия электромобиля с учетом кинетической энергии четырех колес при поступательном движении

Т2-~ тх2.

В результате

I 4/, /0 Лхг

Найдем производные, входящие в уравнение (1): d(dT\ ( 4/, /о V. ЪТ .

Для определения обобщенной силы сообщим системе возможное перемещение 5х и вычислим возможную элементарную работу

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и получим дифференциальное уравнение движения электромобиля:

Задача 48.4

Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода установлен на вращающейся раме, положение которой задается углом ф. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить дифференциальное

уравнение движения рамы, если 1\ — момент инерции рамы вместе с электродвигателем, /0 — момент инерции ротора электродвигателя, /,2 — передаточное число пары шестерен, М0 — вращающий момент электродвигателя, MQ — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, М{ — момент сил, приложенных к раме вокруг ее оси.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату угол поворота рамы q = ф (см. рисунок), запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

Кинетическая энергия механической системы

Г = 7-0 + 71,

1

где Т0=- 10щ — кинетическая энергия ЭД; 7] = — /, coj — кинетическая

энергия рамы.

В данном случае coj = ф — искомая обобщенная скорость. Чтобы выразить со0 через озь применим метод Виллиса. Тогда

С02 - СО) (О0-СО| = -hi,

где /12 = -1-, а>2 =0, так как шестерня 2 — неподвижна; знак минус Z2

в правой части выражения указывает на внешнее зацепление.

Определим обобщенную силу. Для этого сообщим системе возможное перемещение 8ф и запишем выражение для элементарной работы:

8А = (М0 - Л/')5ф0 - Л/)'5ф.

Так как

8фо _ <0р 8ф СО]'

то

8ф0 = |1 + ^ - |8ф.

Тогда

8А = (М0-M')\l + j- \-М{ 8ф,

а обобщенная сила

726 XI. Аналитическая механика,

Определим потенциальную энергию свисающей части троса и груза Р, принимая за нулевой потенциал горизонтальную прямую, проходящую через центр барабана — точку О, и пренебрегая размерами барабана по сравнению с длиной свисающей части троса:

где ~ j ~ S ~ сила тяжести свисающей части троса; — — координата

центра тяжести троса; / — длина троса.

Вводя функцию Лагранжа L-T - Я , запишем уравнение Лагранжа 2-го рода:

dtydx) дх

После интегрирования получим дифференциальное уравнение

Решение уравнения (3) ищем в виде

где х — решение соответствующего однородного уравнения; х* — частное решение уравнения.

Задача 48.6

В эпициклическом механизме бегающая шестеренка радиуса г, насажена на кривошип с противовесом, вращающийся вокруг оси неподвижной шестеренки под действием приложенного момента М. Определить угловое ускорение вращения кривошипа и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние между осями шестеренок равно /, момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен /0 , масса бегающей шестеренки ть момент инерции шес-

теренки относительно ее оси /j; трением пренебречь, центр масс шестеренки и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа.

Р е ш е н и е

Приняв за обобщенную координату q угол поворота кривошипа <р, запишем уравнение Лагранжа 2-го рода для данной механической системы, имеющей одну степень свободы:

где L = Т - П — кинетический потенциал.

Кинетическая энергия системы

^ — ^кр + Тш.

Кинетическая энергия кривошипа

'кр /оФ2

Кинетическая энергия шестеренки

Заметим, что это соотношение можно получить из условия плоского движения шестеренки 1, имеющей МЦС в точке К касания колес (рис. 1). Подставим в выражение (2) значение ф, и получим