doc2

790 XI. Аналитическая механика

Для определения периода малых колебаний эллиптического маятника делаем допущения: sincp = ф, со8ф = 1, ф2 втф^О, тогда уравне-

тх +т2

/ф — ф + ^ ф = 0 Ш) + т 2

или

ф+ Й Щ ) ф = 0.

ГП\1

Отсюда определим период малых колебаний маятника:

О т в е т : —[(/я,+/я2)у+/и2/фсо5ф] =0; /ф+.усо5ф+£8тф = 0; dt

г = 2к'g/ m{ +m2

Задача 48.36

Начало отсчета оси х взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора В. Массой стержня пренебречь.

Указания. Пренебречь членом, содержащим множитель ф2, считать с= О, sin ср — ф, cosf=l.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: х — горизонтальное смешение тележки, ф — угол отклонения стержня (см. рисунок).

m2s

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

Кинетическая энергия системы

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

ЪТЭх = (w, +т2)х+т2/фсо8ф,

d (ЪТ\ dt V Эх )

ЭГЭх = 0;

d r — = m2lxcosq>+m2l2§-ni2lx(psmy, dt Эф 7

Эф = m2l2ty2 sin9cos(p-m2(ftpcos<p+ x)ftpsin ф = - m2 Ixipsm ф.

Потенциальная энергия системы

сх2

Я = — w 2 g / c o s ^

Найдем производные от выражения потенциальной энергии по обобщенным координатам:

ЭЯ

—дх = СХ,

ЭЯ

— =m2g/sm(p.

Эф

Подставим выражения производных в уравнения (1) и (2) и получим

х(щ +щ)-m2l§2 sin ф+/w2 /фсозф = -сх,

m2 lxcosф+т2 /2ф - т2 ifopsin ф+т2 iwpsin ф = - m2gl sin ф

или

Определим период малых колебаний эллиптического маятника, сделав допущения с учетом указания: втф^ф, со5ф = 1, ф2вшф =0, с = 0.

ный стержень OD массы /и, длины /. Стержень совершает колебания вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат 5 и ф. Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, еслиmxglcos2 а <2с.

Указание. Считать sin(p = ф, cos(a + cp) ~ cosa - ср sin а, затем пренебречь членами, содержащими множители <р2 и (р ф.

Определим обобщенные силы Q, и Q2. Сообщим системе возможное перемещение, при котором 8s = 0, 8ф > 0, и найдем возможную работу

откуда

Qt = ~ 2

Сообщим системе возможное перемещение, при котором 8ф = О, & >0, и определим возможную работу

Qi = (Щ +m2)g sina.

Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравнения (1) и (2) и получим

Согласно указанию в условии задачи считаем, что вшф^ф, соз(а + ф) = c o s a ^ s i n a , и пренебрегаем членами, содержащими множители ф2 и ф ф.

Введем обозначение:

к2 = 6(/И| +т2)(2с-nt\gl cos2 а)

Я7,/2[/И|(1 + 3sin2 a)+4w2 ]

Тогда период колебаний стержня

2л

х = —

к

или

[/и, (1 + 3 sin2 a)+Фя2 ] 6(/и, +m2)(2c—/и, g/ cos2 a)

О т в е т : (/nj +m2)J+i/wi/92sin(a + 9 ) - j W 1 ^ c o s a = (m, +m2)gsina;

^т|/2 ф- cos(a + ф) = ^-/и^/зтф-сф;

2 j Г [ w i 0 + ^sin2 ot) -ь4m2][

\6(/щ +m2)(2c-m\gl cos2 a)

Задача 48.38

Решить задачу 48.37, считая, что призма Л массы т г движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой х.

Р е ш е н и е

Система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты: ф — угол поворота стержня, s — перемещение призмы В по призме А, х — перемещение призмы А по горизонтальной поверхности (см. рисунок).

Запишем три уравнения Лагранжа 2-го рода: d(bT\ дТ

где Т\ — кинетическая энергия стержня OD; Т2 — кинетическая энергия призмы В\ Г3 — кинетическая энергия призмы А.

Определим кинетическую энергию стержня:

1 „2

Т\ = -mxvt) +mxv0 • vCr + Tr,

где \>о = vx + vy>vx - * + c o s a , vy = s sin a; Vq = (x +s cosa)2 + s2 sin2 a =