doc2
.pdf46. Принцип возможных перемещений |
641 |
|
откуда |
|
|
б = / • - |
= 1 0 0 - ^ |
= 1800 (Н). |
bd |
1 0 - 2 0 |
|
О т в е т : 6 = 1800 Н.
Задача 46.7
На платформе в точке Fнаходится груз массы М. Длина АВ = я;
ВС = b; CD = с; IK = d\ длина платформы EG - L. Определить соотношение между длинами Ь, с, d, 1, при котором масса т гири, уравновешивающей груз, не зависит от положения его на платформе, и найти массу т гири в этом случае.
Р е ш е н и е
Рассмотрим равновесие платформы. Покажем на рисунке активные силы.
Механизм, подчиненный идеальным связям, находится в равновесии под действием сил тяжести груза Mg и гири mg.
Применим принцип возможных перемещений:
1 5 4 = 0 . |
(1) |
к=\
Сообщим рычагу AD возможное угловое перемещение 8ф по часовой стрелке вокруг шарнира В. Положение груза на платформе не будет влиять на равновесие, если платформа совершает поступательное движение, т.е. 5sE = 8sG.
642 |
|
|
XI. Аналитическая механика |
Выразим возможные перемещения частей механизма через Sep: |
|||
8sD = (b + c) 5ф, 5sc |
= Ь8ф, 8sc |
= Ss£; |
|
bsf/ = /5ф,, |
bsH = bsD; |
|
|
bs, = £?5ф,; |
= 5SG = у 85// = |
— 8 ф . |
|
Найдем искомое соотношение: &ус = & £
или
Тогда
/ _ 6 + с </~ b
Составим уравнение согласно формуле (1): -mg-Ss^ + Afe-Ssf = 0
или
-mga • 8ф+Mgb • 5ф = 0,
Так как 5ф Ф 0, то (Mb-та) 8ф = 0.
Mb-та =0.
Отсюда
ь АЛ
а
гл |
I |
b + c |
; |
b .. |
О т в е т : — = |
Ъ |
т-—М. |
||
|
d |
|
а |
|
644 |
XI. Аналитическая механика» |
Запишем уравнение (1) в виде
M-8q>-P-8sA =0
или
М • 5<р-2 Р1 совф5ф = 0,
(М -2 Р1 соБф) 5ф = 0.
Так как 5ф Ф 0, то
М-2Р1 совф^О.
Найдем значение вращающего момента:
М = 2 PI cosy.
О т в е т : М =7Р1сощ.
Задача 46.9
Полиспаст состоит из неподвижного блока А и из и подвижных блоков. Определить в случае равновесия отношение массы М поднимаемого груза к силе Р, приложенной к концу каната, сходящего с неподвижного блока А.
Р е ш е н и е
Рассмотрим равновесие полиспаста, состоящего из неподвижного блока A n n подвижных блоков. Покажем на рисунке активные силы.
Полиспаст, подчиненный идеальным связям, находится в равновесии под действием силы Р и силы тяжести груза Mg.
Применим принцип возможных перемещений:
1 5 |
4 = 0 . |
(1) |
1 |
|
|
|
|
Сообщим точке приложения силы Р возможное перемещение — вертикально вверх. Тогда центр
46. Принцип возможных перемещений |
645 |
первого подвижного блока опустится на величину, равную половине перемещения силы Р:
&1 = — 8$.
2
Каждый последующий подвижный блок опустится на величину, равную половине возможного перемещения предыдущего, т.е.
Тогда
Составим уравнение (1):
Pbs + Mgbs„ =0,
Так как 8s Ф 0, то
Следовательно, искомое соотношение
— ^ = 2"
Р
О т в е т : ^Р- = 2".
646 |
XI. Аналитическая механика» |
Задача 46.10
В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг горизонтальной оси О ползун А, перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Даны размеры: ОС = R, ОК= /. Какую силу Q надо приложить перпендикулярно кривошипу ОС в точке С для того, чтобы уравновесить силу Р, направленную вдоль стержня АВ вверх?
Р е ш е н и е
Рассмотрим равновесие кулисного механизма, состоящего из рычага ОС, ползуна А и стержня АВ. Покажем на рисунке активные силы.
Механизм, подчиненный идеальным связям, находится в равновесии под действием сил Р и Q.
Применим принцип возможных скоростей:
п |
_ |
(1) |
2,Fkvkcos(Fk,vk) = 0. |
||
кМ |
|
|
Найдем скорости точек приложения сил и выразим их через угловую скорость вращения рычага ОС\
Vq = (й-ОС = соЛ. |
(2) |
Абсолютная скорость ползуна Л, который совершает сложное движение,
VA=yeA + vrA.
Построим параллелограмм скоростей, из которого (см. рисунок) найдем скорость ползуна в переносном вращении:
/со vA — (о'OA = •
coscp
648 |
XI. Аналитическая механика |
тальной плоскости, если коэффициент трения скольжения между основанием кулака К и горизонтальной плоскостью равен /
Р е ш е н и е
Рассмотрим равновесие системы, состоящей из кулака К и стержня АВ, когда кулак находится в покое на гладкой горизонтальной плоскости.
Покажем на расчетной схеме активные силы (рис. 1). Система с идеальными связями находится в равновесии под действием сил тяжести M\g, M2g и силы F. Применим принцип возможных скоростей:
и |
(1) |
X / i v i c o s ( / r b v i ) = 0. |
|
к=1 |
|
Найдем скорость стержня АВ, выразив ее через скорость кулака К. Разложим скорость конца А стержня АВ на составляющие:
VA = VA+VrA.
Скорость конца А стержня А В в переносном движении равна скорости кулака К, т.е.
veA = vK.
Построим параллелограмм скоростей (см. рис. 1) и найдем абсолютную скорость конца А стержня А В:
vA = veA tga. = vK tga.
Стержень АВ совершает поступательное движение вверх, следовательно, скорости всех его точек равны.
Запишем уравнение (1):
FvK-M2gvA |
= О |
или |
|
FvK-M2gvK |
tga = 0 |
46. Принцип возможных перемещений |
649 |
||
и найдем значение искомой силы: |
|
||
F = M2glga. |
|
||
Рассмотрим равновесие этой же си- |
|
||
стемы с учетом силы трения между кула- |
|
||
ком и плоскостью (рис. 2). |
|
||
Определим значение силы трения: |
|
||
Frp = Nf = (М] + |
M2)gf- |
|
|
Направление силы трения опреде- |
|
||
лим, считая, что она направлена в сто- |
Рис. 2 |
||
рону, противоположную |
возможному |
||
|
|||
движению. |
|
|
|
Запишем уравнение (1) в виде |
|
||
FvK±FTpvK-M2gvA |
=0 |
||
или |
|
|
|
FvK ± (А/, + М2) gvK tg a - М2 gvK tg a = 0.
Найдем область значений модуля силы F:
M2g tg a+fW\ |
+ M2)g>F > M2g tg a - /(Л/, + |
M2)g. |
|
О т в е т : F = M2g\ga\ |
|
|
|
M 2 gtga+/(M| +M2)g>F>M2gtga-f(Ml |
+M2)g. |
||
|
Задача 46.12 |
|
|
Круговой кулак К массы Mt и радиу- |
|
|
|
са R стоит на негладкой горизонтальной |
|
|
|
плоскости. Он соприкасается с концом А |
|
|
|
стержня АВ массы М2, |
расположенного |
|
|
в вертикальных направляющих. Система |
|
|
|
находится в покое под действием силы F, |
|
|
|
приложенной к кулаку по горизонтали / / / |
/ / > / / / |
/ / / / / / / / / / / |
|
направо. При этом AM - И. Найти область значений модуля силы F, если коэффициент трения скольжения кулака о горизонтальную плоскость равен /.