Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
108
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

700

 

XI. Аналитическая механика,

Сократим уравнение (3) на 5s

и решим его относительно а:

(Л/, sina -

M2)g = a(2M{ + М2),

а =

g—'Мт sina - М2

2М\ +М2

О т в е т: а = g М, sin a— М2

 

2Л/| + М2

 

Задача 47.12

 

Груз В массы М] приводит в движение

 

цилиндрический каток А массы М2 и ра-

 

диуса /-при помощи нити, намотанной на

 

каток. Определить ускорение груза В, если

7777777777777?-

каток катится без скольжения, а коэффи-

 

циент трения качения равен /к . Массой

 

блока D пренебречь.

 

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке приложенные к системе силы: силы тяжести M\g груза В и M2g катка А, момент сопротивления качению катка Мк, силы инерции груза В и ФА катка А, момент сил инерции катка М". Под действием этих сил система условно будет находиться в равновесии.

5ф 6s

Сообщим грузу В возможное перемещение 5sB - 5s. Ось катка при этом переместится на

&

47. Общее уравнение динамики

 

701

а каток повернется на угол

 

 

5ср =

5s0

_ Ss

 

г

2г

Запишем общее уравнение динамики

или в развернутом виде

к=\

Ы1

 

 

 

 

- М к

5<р- Ф д

&

&

Мх\бф = 0.

 

 

 

Определим силы инерции груза и катка:

 

 

 

Фв = Мхав = М{а,

 

 

 

ФА = М2а0 = М2^,

 

 

момент сил инерции катка

 

 

 

 

 

 

 

М2г2

 

М2га

 

Л/3 = /0 е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г 2г

 

 

 

 

и момент сопротивления

качению

 

 

 

 

 

Мк =

M2gfK.

 

 

 

Подставим полученные соотношения в уравнение

(1):

г

„ г

,,

a

5s

M->ar bs

п

M\gSs - M2g fK-—М\a8s

— М2

— —

=— — = 0.

2 Г

 

2

2

4 2 Г

 

(1)

(2)

Сократим уравнение (2) на 5s

и решим его относительно а:

М,

a=8g 8Л/, +ЗМ, .

Ответ: a = 8g

2г '

8М, +ЗМ,'

702

XI. Аналитическая механика,

Задача 47.13

Стержень DE массы Мх лежит на трех катках А, В и С массы М2 каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила F, приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками и также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Катки считать однородны-; ми круглыми цилиндрами.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести катков G2, силу тяжести стержня G\.

Приложим силы инерции: стержень DE движется поступательно и его сила инерции

Ф \ = М х а ь

катки совершают плоскопараллельное движение, их силы инерции

Ф2 = М2а2

а моменты сил инерции

М" = /2 е2.

47. Общее уравнение динамики

703

Сообщим системе возможное перемещение 6sj и составим общее уравнение динамики:

/&1 -Ф,55! -ЗФ2 &2-ЗЛ/2 и 5ф2 =0. (1) Выразим все возможные перемещения через &

& 2 = &21

б ф

2г

где г — радиус катков. Определим силы инерции:

Ф, = Л/,аь

Ф2 = М2а2 = М2

так как а2 = а—\ .

2

Момент силы инерции катка

где

2

е 2

=^ - .

 

 

 

 

 

 

 

2г

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д/и ~

M2f2

fli

_

М2Гй\

 

 

 

 

2

2

2г

4

 

 

Подставим найденные значения в уравнение (1):

 

 

 

- - З Л /

2 ^ L ^ -

4

= о,

 

 

 

1

2

2

2

2г

откуда

F = E , [ М, + 1 Л / 2 + 1 М 2 ) =

+

9М2),

704

XI. Аналитическая механика,

 

8F

 

8Л/, +9М2

 

8 F

О т в е т :

а\ =8Л/, +9Л/2

Задача 47.14

Определить ускорение груза М2, рассмотренного в задаче 47.5, с учетом массы блоков — сплошных однородных дисков массы 4 кг каждый.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести грузов (?, и G2, блоков С3 и С4. Приложим также силы инерции. Грузы движутся поступательно. Их силы инерции:

Ф, =т\Щ,

Ф2 =т2а2.

Блок 3 вращается вокруг неподвижной оси и момент сил инерции

М3И = /3е3.

Блок 4 совершает плоскопараллельное движение и его сила инерции

а момент сил инерции

Д/4и = /4 е,.

Сообщим системе возможное перемещение и составим общее уравнение динамки:

G28S2 - Ф28S2 - М3и5ф3 - Ф4&4 - M4"8s4 -

-G48S4-G,8SI-0,65]

=0 .

(1)

47. Общее уравнение динамики

705

Выразим все возможные перемещения через возможное переме-

щение bs2 груза 2:

 

 

5<Рз =

— ,

 

 

г

&4 = —

- 5st,

 

2

 

~

 

ds2

8(р4

= —±

 

 

2г

где г — радиус блоков 3 и 4.

Выразим все силы инерции и моменты сил инерции через а2. Так как

г _w3'-2

.

_а2

.

.

 

г _ЩГ2

а2

а2

h

— 5

£3

г

а 4 - — > . М-—г—.

2г

2

 

2

 

 

 

2

 

2

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л/Зи = ^.£2 =

тъга2.

 

 

 

 

 

 

 

Ф4

 

 

 

 

 

 

 

 

М и

=

а2 =

Щга2.

 

 

 

 

 

 

 

4

2

2г

4

'

 

 

 

 

 

 

 

Ф,

=ГП\—.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Подставим все найденные значения в уравнение (1) и получим

_ '

~

ra2 5S2

а2

bs2

 

ra2

Ss2

-

m2g8s2-m2a26s2-m3-~

2

г

2

—

-тА—£

—

 

 

2

 

4

2 г

 

 

bs2

 

8s2

а2

8s2

Л

 

 

/<1Ч

 

 

 

 

2

2

"

 

 

 

Сократим уравнение (2) на bs2 * 0 и запишем его в виде

 

g

g

(

m-t

гпл

тл

nt\

 

 

2

2

2

V

2

4

8

4

 

 

706

 

 

 

 

XI. Аналитическая механика,

или

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

в?

+ 4/я3 + 3/и4

+ 2т]).

 

—(2т2-т4-тх)

- — (8/и2

 

2

 

 

8

 

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

 

e _

4 g ( 2 щ - щ - щ )

__

4-9,8(2-8-10-4)

_

2

2

Ы2+4тг

+ Ъпц+2т\

8-8+4-4+3-4+2-10

'

О т в е т :

а2-0,1

м/с2.

 

 

 

 

 

Задача 47.15

Груз А массы Мь опускаясь вниз, посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок D и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Шкив В радиуса Л жестко насажен на вал С радиуса г, их общая масса равна М2, а радиус инерции относительно оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, равен р.

Найти ускорение груза А. Массой нити и блока пренебречь.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести тел (7, и С2. Приложим силы инерции. Груз А движется поступательно, поэтому его сила инерции

Ф1 = Мхах.

Шкив с валом совершают плоскопараллельное движение, их сила инерции

Ф2 = М2а2,

47. Общее уравнение динамики

 

 

 

 

 

 

 

 

707

момент сил инерции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М2И = /2 е2 .

 

 

 

 

Сообщим системе возможное перемещение и составим общее

уравнение динамики:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G\ &, - Ф,

- Ф2&2 - М2и8ф2 =0.

 

(1)

Выразим все возможные перемещения через возможное переме-

щение &] груза А:

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& 2

~ SSfR-r

 

 

 

 

Так как

 

 

 

бф2 = R-r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2 = щ - — , h = М2р2 и е2

= —

 

 

то

 

 

R-r

 

 

 

 

 

 

R-r

 

 

 

 

 

-

 

 

M2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф2

 

——а,;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R-r

 

 

 

 

 

 

 

 

M? =

 

M2&L.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R-r

 

 

 

 

Подставим эти значения в уравнение (1) и получим

 

Mlg5s{

- A f , a

, S

s i

—

5 s

t - M

2

^ ~

- ^ - = 0.

(2)

6

 

11

2

R-r R-r

 

2

R-r

R-r

 

Сократим уравнение (2) на

 

 

 

и запишем его в виде

 

 

 

 

 

М\ + -

М2

, 2

2ч

 

 

 

 

 

 

 

(р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{R-r)

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, =•

Mxg

 

 

 

 

Л/, (Л-г)2

 

 

 

р + г

 

•8Mx(R-rY

+

M2(pz+r2)

 

 

А/, +Л/2

 

 

 

 

,

(R-r)2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ах= g

Mi(R-r)2

Mx(R-rY + M2(p2 + r2)

708

XI. Аналитическая механика

Задача 47.16

Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Определить угол отклонения стержней OA и ОВ от вертикали, принимая во внимание только массу М каждого из шаров и массу М\ муфты С, все стержни имеют одинаковую длину /.

Р е ш е н и е

Рассмотрим двйжение данной системы. Покажем на рисунке активные силы: силы тяжести G шаров и G\ муфты.

Приложим к шарам силы инерции

Ф = -Ма,

где а = Ац = со2/ sin ср.

Ускорение муфты С равно нулю, так как она не перемещается, поэтому ее сила инерции равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение и составим общее уравнение динамики.

Возможную работу сил G и Ф определим как произведение моментов этих сил на угол поворота 5ср:

2Gl sin ф • Sep - 2Ф/ cos ф • 8ф + G,8sc = 0.

(1)

47. Общее уравнение динамики

 

709

Выразим возможное перемещение 5sc муфты С через 5(р:

 

bsB = /8ф,

 

& с

= 85П CP ,

(2)

 

BP

 

где CP и BP — расстояния до точки Р — мгновенного центра враще-

ния стержня СВ в относительном движении:

 

CP-OP

- sin <р = 2/sin ф,

 

 

ВР=1,

 

тогда

 

 

5sc =1 б ф - ^ - у ^ = 2/sinq>-5<p.

Сила инерции

Ф = Ма,

где а = to2/ sin ф = 21 sin ф. Тогда

 

 

Ф = Мсо2/ sin ф.

(3)

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1):

 

2Mgl sin ф • 8ф -

2ЛЛо2/ sin ф • / cos ф • 8ф + 2M\gl sin ф • 8ф = 0.

После преобразования получим

 

 

 

Mg - Mo2 / cos ф + Mxg = 0,

 

откуда

 

 

 

 

 

СОЗф = СM + Mx)g

 

 

 

М1(о2

 

О т в е т : со5ф

А/ 4- МЛ

 

(M

+ Mx)g

 

 

МЫ1

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности