Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
108
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

820

 

 

XI. Аналитическая механика

или

 

 

 

 

3

d

( p ^ ^ - g p s i n c p - ^ c o s c p ;

(4)

I

at

 

 

 

3

 

 

=mgcoscp

 

- т ( р ~ Яф)-трф2

 

или

3

 

 

 

 

 

 

 

 

- ( р - Л ф ) - р ф 2 = £ С 0 8 ф .

(5)

Умножим уравнение (5) на R, затем сложим его с уравнением (4)

и получим дифференциальное уравнение

 

~(р2ф)~

Ярф2 =

-ярмпф.

 

at

 

 

 

2

2

d

ф)-/?рф2 =-,gpsin^

 

Ответ: р-/?ф--рф2

=-§созф; —(р2

 

3

3

dt

 

 

Задача 48.45

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при t = 0, P = Po, ф = Фо *0.

Р е ш е н и е

При решении задачи 48.44 получили дифференциальные уравнения движения цилиндра:

 

2 ->

2

(1)

р - / ? ф - ^ р ф 2

= —^COS(p,

4(р2

Ф) - Лрф2

= -gpsinф.

(2)

dt

 

 

 

Для малых колебаний цилиндра ф2 »0, со8ф = 1, зшф=ф. Тогда уравнения (1) и (2) примут вид

=

(3)

4<Р2Ф) = ~£РФ-

<4>

dt

 

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

821

Проинтегрируем уравнение (3) дважды и получим

 

р-Лф = ! * / + С , ,

(5)

р - i ? 9 = ig/2 +C,/+C2 .

(6)

С учетом начальных условий: / - 0, р = р0, tp = <р0> р - 0, ф = 0, найдем постоянные интегрирования С( и С2.

Из равенства (5) получим С| = 0, из равенства (6) — С2 = ро - йф0. Подставим значения С, и С2 в выражение (6):

р-Дф = ^£/2 + р0-/?ф0.

(7)

Введем обозначение:

F(f) = i g f 2 + p0 -ftp0 .

Тогда выражение (7) примет вид

p = R<p+F(t).

(В)

Подставим выражение (8) в уравнение (4):

~[(R<?+ Г(г))2ф] = -

ЛО]

или

~[R2<?2 + 2 Лрф^О +

ф] + Ар2 + F(i) <р] = 0.

Исключив из этого уравнения члены /?<р2, /?2(р2,2/?фф/7('), окончательно получим

 

^ [ F 2 m ] + gF(0<р = 0.

О т в е т : — [Г2

(0ф]+gF(f)y = 0, где Я?) =

2

+ р0 - Лро-

3

dt

 

 

822

XI. Аналитическая механика

Задача 48.46

Определить движение системы, состоящей из двух масс /я, и т2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступательно вдоль стрежня; расстояние между центрами масс при ненапряженной пружине равно /; начальное состояние системы при / = О определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: х, = О,

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем: х, — перемещение массы ти х2 — перемещение массы т2.

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

± { К ] Ж = а и

(1)

dt VdX|) Эх|

 

Й?/(ЭХ2 j Эх2

^

Кинетическая энергия системы

 

2

2

Найдем производные от выражения кинетической энергии:

ЭГ

t t ^ I * ! .

Эх,

d(dt

Л

.

А *

) ' *

* 1 '

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

823

 

Эх)

 

ЭГ

 

дх2

 

dfBt)

дх2

Для определения обобщенных сил найдем потенциальную энер-

гию системы:

П=~с(х2-Х]-1)2.

 

Тогда

 

 

 

^

ЪП

,

/ч

 

ЭХ]

 

 

к

д П

<

л

 

Эх2

 

 

Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил Q) и Q2 в уравнения (1) и (2) и получим

W|Xt = c ( x 2 - x j - / ) ,

т2х2 = - с(х2 - х, - /).

Сложим уравнения (3) и (4):

/я,х, +т2 х2 =0.

Откуда

=

т2

Проинтегрируем выражение (5) дважды:

А2 = - а * 1 + с ь

т2

х2 = - — х , +С|Л-С2.

т2

(3)

(4)

( 5 )

(6)

(7)

824 XI. Аналитическая механика

Используя начальные условия: t = О, Х|0 = 0, х10 = и0, х20 = /, х20 = О, из выражения (6) найдем

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

Ч

Щ

"о,

 

из выражения (7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С 2 = / .

 

Тогда согласно формуле

(7)

 

 

 

=

 

* , + % , , + / .

(8)

 

 

 

т2

т2

 

Подставим выражение (5) и (8) в формулу (4):

 

 

 

(

- — Х\ +

-U0t+l-Xy-l

" У - — $

|=-с

щ

 

 

 

т 2

т 2

 

или

 

 

 

 

 

 

-

 

,

1

1 1

с

,

х, +с

— + —

х, =—и0

/.

 

 

\tti\ т2)

т2

 

Введем обозначение:

 

 

 

 

 

кг

= с\

—+-1

щ т 2

 

 

 

\ГП\

тп2)

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

х,+*2 х, = — и</.

(9)

 

 

 

 

 

т 2

 

Найдем решение уравнения (9):

 

 

 

 

 

= х * + х**,

(10)

где х* — общее решение уравнения xt + к2х{ =0, x* = C3costo+C4sinA:f; х** — частное решение уравнения (9), х** = At.

Подставим значение х** в уравнение (9):

Ak2t = —н0'. т2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

825

откуда

т2к

Тогда

х*» - еи<*

т2кг

Подставим это значение х** и значение х* в равенство (10) и по лучим

 

 

 

 

 

 

cuQt

(11)

 

X) = С3 cos kt+С4 sin kt + ——-j.

 

 

 

 

 

 

т2к

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -С3Л sin kt+C4k

cos

&сио+

— ( 1 2 )

 

 

 

 

 

 

т2к

 

Подставим начальные условия: / = 0, х)0 =0, х10

=и0 , и получим

из выражения (11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Що - Сз - 0;

 

 

 

из выражения

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

сио

 

 

 

 

 

Х,о=Мо=М«:

+

Г>>

 

 

 

 

 

 

 

т2к

 

 

 

 

 

с

^ Utfn2k2-CUg

 

 

 

 

 

 

т2 к3

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ——I—-—Si-sm*f

+ — ^

 

 

 

 

m2k

 

 

m2k

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J C , = _ J — L M o / + ^ f o s i n ^ |

(13)

 

 

m, +m2 \

 

к

 

)

 

Далее подставим выражение (13) в формулу (8) и найдем закон

движения массы

т 2 .

 

 

 

 

 

 

х2 ~

Щ

1

fu0m2 sinkt+njiUot

+^u0t+l

т 21

т\ +т2 V к

 

 

)} т2

826

 

 

 

 

 

XI. Аналитическая механика

или

 

 

 

 

 

 

 

 

х2-Ы

—

К

 

 

 

 

 

 

т| +т2

 

 

О т в е т : xj = —-—

 

{mxuQ t + Tlhl

sin kt|;

 

 

Ш\ + m2 v

к

J

 

хг-Ы-

 

1

- jm^of - ^^sinfc/

\ * =

c\ — + —

 

щ +m2

\

 

Щ Щ

 

 

 

 

Задача 48.47

 

 

Система, состоящая из двух одина-

 

rh

ковых колес радиуса а каждое, могущих

 

независимо вращаться вокруг общей

«

 

нормальной к ним оси 0Х02 длины /,

 

 

катится по горизонтальной плоскости.

 

O,

Колеса связаны пружиной жесткости с,

 

 

работающей на кручение (упругий тор-

///t////////////// r77r

сион). Масса каждого колеса т\С — мо-

 

 

 

 

 

 

 

l

мент инерции колеса относительно оси вращения, А — момент инерции колеса относительного диаметра.

Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям (ft = 0, ф( = 0, ф2 = 0, ф2 = со (срь ср2 — углы поворота колеса). Массой оси пренебречь.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем: ср| — угол поворота колеса 7, Ф2 — угол поворота колеса 2(рис. 1).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

л1эф, J Э<р, •Qu

(1)

э г

Рис. 1

 

( 1 )

dt\d$2) Зф2

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

827

Учитывая, что

а = у(ф,-ф2 ),

V| =вф|.

v2 = аф2,

где а — угловая скорость поворота колеса относительно диаметра (рис. 2).

Найдем кинетическую энергию системы:

х2

 

„„2,-Л

„„2/п2

) 2Л

~

Trr C ^

-1

С<?2

) m a

tf

Iт а

&

2

 

2

 

2

 

2

 

2

2

2

 

2

 

2

 

/2 W 1

Y

и производные от выражения кинетической энергии:

Э Г

 

2 .

2Аа

- ф2),

Эф,

= Сф, +та2

ф, +

 

/ 2

 

 

 

 

 

d (дТ)

 

2-х

2Ла2

 

—

.

=С<о. +т*гй>,

 

+ —

 

•. I

I :СФ| +ша ф! + —у—(ф| - ф2),

Л ^Зф|)

 

 

г

 

 

 

Эф)

 

 

 

Э Г

 

 

2 а

2 Л Й 2

. ,

—

= С ф 2 + m a l < p 2

 

- у - ( ф | - ф 2 ) ,

Э ф 2

 

 

 

 

/

 

d (

д

Т 2

-

 

2Ля2

. .

 

 

= Сф2 + ЯШ2ф2

~2

(ф| - ф2>-

dt 1уЭф2

 

 

 

 

Э ф 2

Определим обобщенные силы, учитывая, что потенциальная энергия системы зависит только от силы упругости пружины:

п = с ( ф ! - Ф2>2

828

XI. Аналитическая механика

Тогда

Q\ = - ~ = -с( Ф1-Ф2),

Эф]

п

д17

i

 

Э ф 2

 

Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил 0, и Q2 в уравнения (1) и (2):

2

Аа2

- ф2),

(3)

Сф, +та\ + -

( ф , - ф2) = -с(ф 1

7Аа2

Сф2 +та2фг —-2—(ф! - ф2) = с(<р, -(р2). (4)

I

Сложим уравнения (3) и (4), получим

 

Сф, +та2 ф, +Сф2 +та2$2

= 0

или

 

Ф1=~ф2-

(5)

Проинтегрируем уравнение (5) дважды:

 

ф , = - ф 2 + С ь

(6)

ф, = - ф 2 +С,/+С 2 .

(7)

Подставим в равенства (6) и (7) начальные условия: t = 0, ф, =0, ф, = 0, ф2 = 0, ф2 = со, и определим постоянные интегрирования:

ф, = - ф 2 + С , ,

С, = ф2 = со;

 

Ф, = - ф 2 + С , / + С 2 )

С 2 =0 .

 

Тогда согласно формуле (7)

 

 

 

Ф , = - Ф 2 + СО/.

( 8 )

Подставим выражения (5) и (8) в уравнение (3):

 

С(-ф2) +та2(-ф2) + 2 АА2

ф2 -

ф2) = - с ( - ф 2 + с»/ -

ф2)

48. Уравнения Лагранжа 2-го рода

 

 

 

 

 

829

или после преобразований

 

 

 

 

 

 

-\С+та2

+

4Аа2\

 

(9)

 

I2

ф2 = 2сф2 -«о/.

 

 

 

 

 

 

Введем обозначение:

 

 

 

 

 

 

к2

= -

 

2С

2 '

 

 

С+та2

+ /2

 

 

 

 

Тогда уравнение (9) примет вид

 

 

 

Ф2 + *2ф2 = ^ 2 ю / .

(Ю)

Найдем решение дифференциального уравнения (10):

 

 

ф2 = <гё+фГ»

 

(Ц)

где ф* — общее решение уравнения ф2 +£2фг -0>

ф* = С3 coskt +С4 sinAtf; ф** — частное решение уравнения (10), ф** = Bt.

Подставим ф*2* в уравнение (10) и получим

Я= - о х

2

Тогда

ф2 * — — ю/.

2

Подставим это значение ф2* и ф2 в равенство (11):

Ф2 = С 3 coskt+С4 sin /с/ + 01

(12)

Продифференцируем выражение (12) по времени:

ф2 --Cyksinkt+C4 fccos/cf+ ^-со.

(13)

Используя начальные условия, из выражений (12) и (13) найдем: ф2 =С3 =0;

<p2

„

,

1

„

со

=C4

/t + - c o , Сл = — .

 

4

2

 

2к
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности