doc2
.pdf832 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XI. Аналитическая механика |
||||
Тогда согласно формуле (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
T = j t 2 + Y i e + y 2 ) + T ( t 2 + * 2 + * 2 ) - |
|
|
|||||||||||
Найдем производные от выражения кинетической энергии: |
|||||||||||||||||
|
д т |
= |
/ |
^ |
\. |
Й? ГЭГ ^ . |
|
|
|
. . |
ЭГ |
п |
|||||
|
— |
|
+т2 |
+/я3)г; |
— |
|
— |
= (m, +т2 +m3)z\ |
— |
= 0. |
|||||||
|
dz |
|
|
|
|
dt\dz) |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|||
|
|
дТ |
|
|
d |
|
дТ |
,= (m2+m3)y; |
|
д Г |
= 0. |
|
|||||
|
|
-—- = (m2+m3)y\ |
— |
|
|
|
^ - |
|
|||||||||
|
|
ду |
|
|
dt |
|
ду J |
|
|
|
|
ду |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
ЭГ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
dtldx |
т3 х; |
— |
|
= 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|||||
Определим обобщенные силы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
п |
_8А |
F0[8z~mxg8z-m2g8z-m3g8z |
|
с |
|
, |
, |
, . |
|||||||||
Qz&zto |
=Т~ |
= |
|
8z |
|
|
|
|
|
= |
F0i |
|
+m3)g, |
||||
5*«0 |
5* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ду=а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
- 8 А |
- |
Fn Ьу _ |
р |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Уи&=о |
|
Ьу |
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
SysO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЪА |
- |
F238x |
|
„ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
— |
|
- |
|
= F23. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а s<-=0 ~ о |
|
|
Sx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
&х*0 ОХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6с=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения подставим в уравнения (1) и получим диф- |
|||||||||||||||||
ференциальные уравнения движения механизма: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m3x = F23, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(m2 +m3) у = |
Fn, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(m, +m2 +m3)z |
= F0I-(m, |
|
+m2 +m3)g. |
|
|
||||||||
Ответ: |
m3x = F23, (m2 +m3)y |
= |
|
Fn, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(w, +m2 +m3)z = FQx |
-(m, |
+m2 +m3)g. |
|
|
|
|
||||||||||
Задача 48.49
Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны /, устройства для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3. Момент инерции звена 1 относительно оси
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
835 |
Эт = 0; dz
ЭГэр =т3р,
т у |
* |
Э Г |
.2 |
Эр |
|
Определим значение обобщенных сил: Мкр
бф 5ф '
ыр=0
8г#о 8z Sp=0
QcР5ф=0 |
8/4 |
_ Г238р |
= ^23- |
8г-0 |
8р |
8р |
|
5р*0 |
|
|
|
Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил в уравнения (1) и получим дифференциальные уравнения движения механизма:
|
4 ( ( / ! + / |
2 |
+ /3 +/и3р2)ф]= М, |
|
|
at |
|
|
|
|
(Щ |
|
= F\i |
+тг>8, |
|
^ЗФ-РФ2) = ^23- |
|||
О т в е т : —[(/] + /2 |
+13 +т3р2)ф] = М, (m2 +m3)l = Fn-(m2 +m3)g, |
|||
dt |
|
|
|
|
т3ф-р(р2) |
= Р23. |
|
|
|
836 |
XI. Аналитическая механика |
|
Задача 48.50 |
Вертикальная колонна |
/, несущая |
руку робота-манипулятора, может по- |
|
ворачиваться на угол ф. Рука со охва- |
|
том поворачивается на угол 9 и выдви- |
|
гается на расстояние г. Момент инер- |
|
ции вертикальной колонны относи- |
|
тельно оси вращения \ 2 и 3 считать |
|
тонкими однородными |
стержнями |
длины /2 и /3 и массы т2 и /и3; масса переносимого груза т . К вертикальной оси вращения приложен момент М^ к
оси поворота второго звена — момент Мв, движущая сила, создаваемая приводом в поступательной паре, F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение робота-ма- нипулятора под действием приложенных сил. Покажем на рисунке действующие силы: силы тяжести m2g звена 2 и m3g звена 3, движущую силу F2i в поступательной паре 2-3, моменты Л/фИЛ/еВ приводах. Механизм имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты: ф — угол поворота несущей руки манипулятора; 9 — угол поворота руки со схватом; г — расстояние, на которое выдвигается рука со схватом.
Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:
ё(дТЛ дТ
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
837 |
Кинетическая энергия механизма робота-манипулятора:
Т = ТХ + ТГ + ТГ. |
(2) |
Кинетическая энергия колонны /, совершающей вращательное движение:
7] =
Кинетическая энергия звена 2, совершающего вращательное движение:
2 |
2 |
12 |
24 |
Кинетическая энергия звена 3, совершающего сложное движение: вращение вокруг вертикальной оси вместе с колонной / с угловой скоростью ф, вращение с угловой скоростью 0 вокруг горизонтальной оси вместе со звеном 2 и поступательное движение в поступательной паре 2—3 со скоростью г:
где
/ 0 |
= / C j + m 3 ( r - ^ =m3 r2-rh + 4 |
|
I 2 |
;2\
= 1г sin2 0 = 1С} + / и 3 ^ - | sin2e = щ r2-rl} + - sin20.
Тогда
T |
1 |
- 2 , 1 |
r |
2 |
- r/ 3 |
+ — l o |
2 |
+ - m 3 |
2 |
-rl% + - |
2 2 |
0. |
T} = -m3 r + -m3 |
|
|
r |
ф sin |
||||||||
Кинетическая энергия груза, который вращается вокруг вертикальной оси вместе с колонной 1 и вокруг горизонтальной оси вместе со звеном 2, а также совершает поступательное движение со звеном 3:
Т |
= |
lmf2 |
+^Lq2 |
+l-mr2<p2 sin2 |
0. |
гр |
|
2 |
2 |
2 |
|
838 |
|
|
|
XI. Аналитическая механика |
||
Тогда кинетическая энергия механизма робота-манипулятора |
||||||
с грузом: |
|
|
|
|
|
|
1 . . 2 , mill ,л , 1 ,2 |
1 |
r2-rL+!L |
а |
е2 + |
||
Т = —/[ф |
+ |
+-т3г +—гпу |
|
|||
2 |
|
24 |
|
|
|
|
+—/и3 г2 - /-А + А2 |
ф2 sin2 0+—тг2 |
+ -/иг202 + -/пг2ф2 sin2 0 = |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
= I /,ф2 + ^ |
ф2 + 1 /(/-)02 + 1/(г)ф2 sin2 0+I(m3 |
+w)r2, |
||||
где /(/•) = /и3 |
/2 А |
|
|
|
|
|
|
+тг2. |
|
|
|
|
|
Найдем частные производные от выражения кинетической энер- |
||||||
гии по обобщенным скоростям и координатам: |
|
|
||||
|
ЭГ |
= / , + ^ « 2 / ! + /(/) sin20 Ф> |
|
|
||
|
Эф |
|
|
|
|
|
ЭГ = 0;
ЭГЭ8 = /(г)ф2 sin 6cos9;
|
— |
= (т3+т)г, |
|
|
|
dr |
|
|
|
дТ |
/и3| r-^j+mr |
02 + |
ф2 sin2 0, |
|
дг |
||||
|
|
|
а также производные по времени от частных производных по обобщенным скоростям:
48. Уравнения Лагранжа 2-го рода |
839 |
Определим обобщенные силы:
|
|
|
|
п |
5Л |
А/ф5у _ |
|
|
|
|
|
|
|
5г=0 |
5ф |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g^ |
Мв8в-m3g |
- yjsin 9 • 89 - mgrsin 9 • 89 |
|||
|
Qe |
59 |
|
|
89 |
|
||
|
|
&S |
|
|
|
|||
|
|
>=0 |
|
|
|
|
|
|
|
= M9-m3g\ |
r - yjsin9 - mrgsin9 = |
Мв- |
gsin9, |
||||
Qr |
-4' - |
= — = — |
|
5 |
5 |
= F13 - {m3 |
+m)gcos0. |
|
|
or |
|
|
or |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Подставим найденные выражения производных от кинетической энергии и обобщенных сил в уравнения (1) и получим дифференциальные уравнения движения механизма робота-манипулятора:
|
|
d_ I) + yfn2/22 |
+ /(r) sin2 |
9 |ф - |
M9, |
|
|
dt |
|
|
|
dt [/(r)9] - Z(r)02sin9cos9 - М в - |
m3 ^r-~j+mr gsin9, |
||||
(m3+m)r- |
(9 |
+ ф sin |
9) = F2} |
-(m3 +m)gcos9. |
|
О т в е т : |
d |
/ , + — m2/22 + /(r)sin29 |ф = Л/ф, |
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
d_ |
|
|
m3\r~-|+mr gsine, |
|
|
dt [/(r)9] - /(г)ф2 sin9cos9 = Мв - |
||||
|
(m3 |
+m)r- ЩI+mr |
(9 + ф sin2 9) = F23 - (m3 +m)g cos9. |
||