doc2

Из формулы (4) найдем значение С, при начальных условиях движения: Г =0, ф 0 = 0 , Фо =0, х — XQ, у = у0, х = х 0 , у = у0-

Тогда

С= т + МтМ.ЛУоХо-х0у0).

Сучетом этого закон изменения угловой скорости диска

где Xq, у0, Xq, у0 — значения координат и проекции скорости точки в начальный момент времени.

Задача 48.22

По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относительной скоростью v = at. Найти закон движения диска.

Р е ш е н и е

Запишем уравнения движения точки по окружности и ее скорость в декартовых координатах

С учетом этих выражений ответ в решении задачи 48.21 запишем так:

где При / = 0 *о = К Уо =0. *о = 0, % = 0-

mMR2 a

где JJ = -(m + M)I+mMR2'

В подвижной системе, жестко связанной с диском и с началом координат в центре диска, координаты центра масс

Если ввести неподвижную систему с началом отсчета в центре масс, то к аргументу синуса и косинуса добавляется угол поворота и меняется знак, т.е.

где Ф = А , 2 . 2 R

—— \ = тг.

dt\dr )

Потенциальная энергия точки М

П-mgrsma.

Производная от этого выражения

ЭП = mg sin а.

Ьг

Подставим полученные выражения в уравнение (1): mr - mro)2 cos2 а = -wgsina

или

г - «о2 cos2 а = —g si n а.

Решим это неоднородное дифференциальное уравнение второй степени и получим

Задача 48.24

Материальная точка массы т движется по круговой рамке радиуса а, которая вращается с постоянной скоростью со вокруг вертикального диаметра АВ. Составить уравнение движения точки и определить момент М, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.

Так как по условию ф = со = const, то ф = 0, следовательно, уравнения (3) и (4) примут вид

2wfl2sin9cos9-co0 = М,

9 + - со2 cos 9jsin 9 = 0.

О т в е т : 9+^—-co2cos9jsin9 = 0, М = 2wa2sin9cos9co9.

Задача 48.25

Тело массы т может вращаться вокруг горизонтальной оси 0Х02, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии I от точки 03 на прямой, перпендикулярной 0\02. Предполагая, что оси ОХОГ и 03G являются главными осями инерции тела в точке С?3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны

А, В, С.

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты: ф — угол поворота рамки вокруг оси СО, 9 — угол поворота тела вокруг оси Ох02 (см. рисунок)'.

Запишем уравнение Лагранжа для координаты 9:

Кинетическая энергия тела, совершающего

Э6

- f f H ^ S ,

a U O ;

э г = -5ш2 cos 0sin 0+Ссо2 cos 0sin 0 = со2(С - В) cos 0sin 0.

30

Потенциальная энергия тела Я = -mgl cos0, тогда ЭЯЭ0 = mgl sin 8.

Составим дифференциальное уравнение движения тела: ЛЬ + со2(С - В) cosGsin 0 = -mgl sin 0.

О т в е т : AQ+со2(С - В) cos0sin 8 = - mgl sin 8, где 8 — угол поворота вокруг 0{02.

Задача 48.26

Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы /я, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы т . К оси блока С прикреплен груз К массы Ш\. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен /. При каком условии груз К будет

опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.

768 XI. Аналитическая механика

Р е ш е н и е

Система имеет две степени свободы. Выберем обобщенные координаты:

Х| — смещение груза Е, х2 — смещение J^ груза А (см. рисунок).

Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:

±{К\Ж - о

dt[dxx) Эх, ''

d_fdТ) ЭТ =Q2. dtydx 2 / Эх-

Кинетическая энергия системы

= i [ 4 m(x,2 + xf) +щ (х, + х2)2].

Определим производные от выражения кинетической энергии:

Э7 = ЭТ_ = 0.

Эх] Эх2

Найдем обобщенные силы Qx и Q2. а) Полагаем 5х! >0, 5х2 =0, тогда

ЬАХ = —/vp5xi +G5xi (mxg -fmg 5хь

б) полагаем Sx, =0, &х2 >0, тогда

"f-mg)^,

Q2 = |(/я,-2/и).

Подставим выражения производных и обобщенных сил в уравнения (!) и (2) и получим дифференциальные уравнения движения системы

Из уравнения (3) выразим хх через х2, подставим этот результат в уравнение (4) и найдем ускорение груза А:

ускорение груза Е

т\ (3 - У) - 4mf 2(тх +2т)