2. Связь моментов относительно повернутых осей

Рассмотрим следующую задачу:

Рис.1.8

Выразим через. Из рис. 1.8 видно, что:

Следовательно:

(1.20)

Для подсчета можно использовать эту формулу, увеличив угол на 90. Тогда получим:

(1.21)

Теперь подсчитываем момент инерции относительно оси у₂. Согласно определению:

Для подсчета момента относительно оси можно использовать эту же формулу, увеличив угол на 90. Таким образом получим:

(1.22)

Центробежный момент находим аналогично:

Окончательно:

(1.23)

2. Главные оси и главные моменты

Меняя угол ,можно построить график зависимости от

Рис.1.9

Угол , при котором момент инерции достигает экстремума (min или max), определяет положение осей, которые называются главными. Главные оси будем обозначать .

Основные свойства главных осей:

1^о. Относительно главных осей центробежный момент равен нулю.

Доказательство:

Запишем условия экстремума :

Деля на (–2) получим:

(1.24)

Как видно из (1.23), при справа будет стоять то же выражение, что и в (1.24). Таким образом получим.

Что и требовалось доказать.

2^о. Оси симметрии являются главными, т.к. относительно них .

3^о. Относительно главных осей один из моментов инерции минимален, а другой максимален (это является перефразированным определением главных осей, введенным выше).

Вычисление

Его определяем из уравнения (1.24). Деля на получим

Таким образом, зная , можно найти, а затем - угол.

2. Основные понятия и закономерности

2.1. Расчетная схема

Расчетная схема – это схематическое изображение конструкции, условий его закрепления и нагружения. Напомним некоторые обозначения и термины.

2.1.1. Условия закрепления

Их изображают следующим образом.

Неподвижный шарнир

Подвижный шарнир

Заделка

2.1.2. Внешние силовые факторы

1) На поверхность конструкции воздействуют другие тела (снег, оборудование, ветер, и т.д.). Это воздействие часто называют силой, нагрузкой и т.п. В природе из таких воздействий существует только один фактор – это внешнее давление, которое будем называть поверхностной нагрузкой, а обозначать буквой р. Это можно изобразить в виде, приведенном на рис.2.1.1. (единица измерения поверхностных нагрузок – Н/м² , можно сказать, т.е. сила, приходящаяся на единицу площади тела). Таким образом, поверхностная нагрузка – это давление или интенсивность силы.

p

q

Рис.2.1.1. Рис.2.1.2.

Поверхностная нагрузка р. Погонная сила q.

Единица измерения - Н/м² Единица измерения - Н/м

2) Кроме поверхностных существуют объемные нагрузки (например, силы веса, инерции, центробежные и магнитные силы), которые действуют на каждый малый элемент тела (единица измерения – Н/м³ , т.е. сила, приходящаяся на единицу объема тела).

3) В строительстве часто используется изображение внешних воздействий в виде погонной силы – т.е. силы, которая воздействует на один метр конструкции. Изображение погонной силы q (единица измерения – Н/м) показано на рис.2.1.2.

4) Внешнюю поверхностную нагрузку часто заменяют сосредоточенной силой и сосредоточенным моментом, обозначать которые будем буквами F и М. Их изображают так, как показано на рис. 2.1.3.

F M

Рис.2.1.3. Сосредоточенная сила F Рис.2.1.4. Сосредоточенный момент М

(единица измерения – Н) (единица измерения – кНм).

Важно отметить, что законы механики (закон равенства действия и противодействия и т.д.) формулируются в величинах суммарного воздействия поверхностной или объемной нагрузки, т.е. в силах и моментах. Например, третий закон Ньютона нельзя формулировать в терминах поверхностной нагрузки, т.е., если тело находится в состоянии покоя (см. рис. 2.1.5.), то из этого не следует, что р₁=р₂.

Рис.2.1.5.