13. Расчет цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего давления

Рассмотрим применение теории прочности при расчете цилиндрической оболочки.

Рис 13.1	Рис 13.2	Рис 13.3

Пусть известны средний радиус оболочки R (в силу тонкостенности оболочки обычно работают со средним радиусом R), толщина стенки h, давление р внутри трубы.

В отличие от простого растяжения элементы стенки испытывают и продольное, и окружное растяжение.

Вырежем диск ширины b (pис. 13.1). На него действует давление р. Рассечем диск на 2 части. Нижняя часть воздействует на верхнюю давлением р и растягивает стенки трубы усилием N (pис. 13.3).

Из уравнений равновесия вытекает:

Рассмотрим второе сечение (pис 12.4).

Рис 13.4

На него слева действует давление p и сила N₂. Уравнение равновесия примет вид:

Отсюда

Видно, что окружные напряжения в два раза больше чем продольные. Согласно I,III и V теориям прочности при наличии растягивающих напряжений условия того, что разрушения не произойдет, имеют вид:

Или

Отсюда находим давление, которое может выдержать цилиндрическая оболочка:

.

Рассмотрим теперь IV теорию. Получим давление, которое может выдержать материал оболочки согласно этой теории:

Видно, что IV теория даёт предельное давление, которое может выдержать оболочка, в раза большее, чем то давление, которое даютI,III и V теории. Таким образом, IV теория позволяет экономить материал приблизительно на 15%.

14. Усталостное разрушение (циклическая прочность)

Всем известно, что проволоку можно разрушить путем многократного изгиба. Это явление называется усталостным разрушением.

Изобразим действие нагрузки во времени графически (рис 14.5).

Рис 14.1.

Различают симметричный цикл (изгиб осей автомобиля, вагона и т. п.), изображенный на рис.14.1 слева, и несимметричный цикл, изображенный справа. Симметричный цикл наиболее опасный, поэтому несимметричный цикл иногда рассматривают как симметричный (такой подход называется расчетом в запас прочности).

14.1. Расчет сооружений при циклическом нагружении с помощью диграммы Вёлера

Рассмотрим традиционный способ расчета на усталость при симметричном цикле. Сначала из эксперимента определяют число циклов N, которое приводит к разрушению образцов из данного материала при ряде значений напряжений. После этого строят диаграмму Вёлера (рис 14.2).

Рис 14.2

При известной диаграмме Вёлера можно приступать к расчету сооружения или конструкции на усталость. Для этого находят напряжение в наиболее загруженной области конструкции, то есть находят . Затем по диаграмме Вёлера отыскивают предельный циклN*. Уменьшая его на коэффициент запаса k , получаем допустимое значение циклов , которое называют такжересурсом изделия.

Поскольку время одного цикла (- период) обычно известно, то время, которое обеспечивает прочность конструкции, находится по формуле:

(14.1)

Примечание. Для некоторых материалов (например, для стали) на диаграмме существует механическая характеристика σ₀ , которая называется пределом выносливости. Если рабочее напряжение σ не превышает значения σ₀ , то разрушения не происходит ни при каких N. Поэтому, если нет требований экономичности изделии, то условие прочности при циклической нагрузке записывают просто в виде

.

Здесь k – коэффициент запаса.