15.6. Касательные напряжения в полке двутавра

Как и ранее, вырежем из балки диск шириной (рис. 15.12), а из него затем с помощью вертикального сеченияI-I вырежем часть полки (рис. 15.13). Обозначим через BC расстояние от левого конца полки до сечения I-I На эту часть полки спереди и сзади действуют растягивающие напряжения, мало отличающиеся друг от друга, а именно, отличающиеся на величину .

рис. 15.12 рис. 15.13

Некомпенсированное воздействие должно чем-то уравновешиваться. Этими силами могут быть только касательные напряжения, которые воздействуют на правое сечениеKCDG этого элемента

Запишем уравнение равновесия:

: (15.21)

В отличие от предыдущего раздела здесь не интегрируем по площади BCDH, так как толщина полок t мала, поэтому можно считать, что по высоте полки. Кроме того, ввиду малостиt можно считать что . Тогда получим из (15.21):

(15.22)

Таким образом:

Видно, что прямо пропорциональноBC, то есть зависит от BC линейно (BC – расстояние от левого конца полки до сечения I-I). Следовательно:

(15.23)

Для правой полки распределение напряжений аналогично рис.15.13. и имеет вид, приведенный на рис. 15.14. Поэтому формула для получится такая же как (15.23). Однако здесь направление нормалик сечению противоположно осиx, поэтому будет иметь противоположный знак.

Эпюра примет вид, приведенный на рис. 15.15.

рис.15.14. рис.15.15

Следствия. Как видно из формул (15.20), (15.23), касательные напряжения возникают только там где поперечная сила Q_y отлична от нуля.

15.7. Анализ формул для напряжений

Рассмотрим формулу Навье:

Геометрически отражает разбросанность сечения относительно осиx. Отсюда видно, что форма сечения имеет большое значение при изгибе балки.

Расчеты показывают, например, что из 3-х балок одинакового веса, сечения которых приведены на рис.15.16., наиболее прочным является двутавр, а наименее прочным балка круглого сечения.

рис.15.16

15.8. Эффект Эмерсона

Рассмотрим балку круглого сечения

рис.15.17.

Уберем часть материала сверху и снизу (см. рис.15.17)

Оказывается, если срез не очень большой, то уменьшается, т.е. прочность балки возрастает. Это происходит потому, что при малыхα в формуле Навье у уменьшается быстрее, чем уменьшается .

Расчеты показали, что при , имеет место наибольшее упрочнение балки (но совсем мало - на 0.7%).

Еще большим эффектом обладают балки, сечение которых представляет собой ромб (для них упрочнение достигает нескольких процентов)

Таким образом, для балок некоторого сечения уменьшение его высоты (в некоторых пределах) не приводит к уменьшению её прочности, а даже напротив, уменьшение высоты сечения положительно сказывается на прочности балки. Этот эффект называется эффектом Эмерсона.

15.9. Парадоксы формулы Журавского

рис.15.18. рис.15.19.

Рассмотрим малый элемент, высота которого много меньше толщины полки (см. рис. 15.18.). По формуле Журавского.

(15.24)

С другой стороны, согласно рис.15.19 на верхней грани никаких воздействий нет, поскольку это свободная поверхность полки. Из условия равновесия по оси (рис. 15.19) получим, что.

Это противоречие вызвано тем, что в сопромате много пренебрежений малыми величинами. Если построить эпюру по высоте двутавра по формуле Журавского, то получим картину, изображенную на рис.15.20. В данной задаче в полке значения напряжения(вычисленные по формуле (15.24)) хоть и отличны от 0, но очень малы (обычно они составляют менее 5% от).

Ясно, что в расчетах на прочность малые напряжения не используются, а их уточнение бессмысленно.

рис.15.20.

(Отмеченное выше противоречие аналогично противоречию вида 2.48 ≈ 2.5, из которого тоже вытекает, что якобы 0.02=0).