3. Выражение коэффициента динамичности через скорость ударяющего тела

Пусть тело движется со скоростью . Для преобразования формулы (20.5) применим следующие рассуждение. Если тело падает с высотыН, то его скорость v и высота падения Н связаны соотношением:

.

Найдя отсюда 2Н и подставляя в (20.5), получим:

(20.7)

Пример: Проверить прочность бетонной колонны, если

рис.20.4

Решение:

.

.

.

Сначала найдем :

.

По формуле(20.5), получаем:

.

Таким образом:

.

Поскольку , то имеем большую перегрузку.

20.4. Принцип Даламбера

Если ускорение элементов конструкции известны, то динамическую задачу можно свести к статической. На многочисленных экспериментах, сравнениях и расчетах было показано, что добавление силы инерции к внешним нагрузкам приводит динамическую задачу к обычной статической. То есть, если к внешним силам добавить силы инерции в уравнениях равновесия, то скорости и перемещения, найденные из этих уравнений согласуются с замеренными в эксперименте.

Рассмотрим применение этого принципа на простом примере.

рис.20.5

Пусть груз опускается со скоростью . Пусть в результате торможения груз остановился за время. Найдем силу натяжения троса. Пренебрежем силой веса троса и силами ее инерции.

Кроме силы веса груза при торможении появиться сила его инерции:

.

Здесь - масса груза, а ускорениевычисляется по формуле:

.

Таким образом: .

Сила натяжения будет:

.

Ускорение можно вычислить также и в задачах о вращении тел. Пусть - угловая скорость, тогда центростремительное ускорение

.

Следовательно, для этих задач, тоже можно вычислить силу инерции.

В других случаях необходимо решать дифференциальные уравнения вида:

. (20.9)

где х – перемещение массы m.

20.5. Колебания упругих стержней

Для простоты будем считать, что масса стержня намного меньше массы груза, поэтому силами инерции элементов стержня пренебрегаем. Колебания подразделяются на свободные и вынужденные. Свободные колебания возникают после кратковременного приложения внешней силы. Вынужденные колебания вызываются переменами во времени нагрузками

рис.20.6.

20.5.1. Свободные колебания

Приложим кратковременную нагрузку и удалим ее. Поскольку внешних сил нет, то колебания существуют по причине наличия сил инерции.

Рассмотрим сечение I-I.

рис.20.7

На него действует сила растяжения . Если груз движется с некоторым ускорением, то на груз действует сила инерции

.

Запишем условие равенства нулю всех сил.

.

. (20.10)

Выразим иF_инер через удлинение стержня. Имеем закон Гука:

. (20.11)

С другой стороны перемещение u груза это и есть величина удлинения . Из теоретической механики известно, что ускорение иF_инер вычисляются по формуле:

(20.12)

Подставим в (20.10):

Здесь обозначено .

Решение этого уравнения, которое называется уравнением свободных колебаний, имеет вид (это легко проверить путем подстановки)

.

рис.20.8

Коэффициент характеризует то, насколько часто повторяется волна синусоиды в каком-либо интервале. Чем больше, тем чаще повторяется волна синусоиды, поэтомуназывают частотой свободных колебаний стержне. Например, на рисунке справа волн больше, значитдля нее больше.

Константы B и С определяются из начальных условий, например, если при t=0 оттянуть стержень на величину , а затем отпустить, то имеем следующие начальные условия:

Подставим в эти условия наше решение:

Получим:

.

Таким образом:

рис.20.9

Примечание: величина является наиболее важной характеристикой сооружения, поскольку она определяет возможность появления резонанса от воздействия внешних нагрузок.