- •Казанский государственный архитектурно-строительный
- •Введение
- •Геометрические характеристики сечений
- •Статический момент фигуры
- •1.2. Моменты второго порядка
- •Осевой момент инерции
- •Центробежный момент площади
- •Свойства симметричных фигур
- •Геометрический и механический смысл моментов
- •1.2.5. Формулы для вычисления моментов инерции канонических фигур
- •Связь моментов относительно повернутых осей
- •Главные оси и главные моменты
- •Основные свойства главных осей:
- •Вычисление
- •2.2. Усилие растяжения (сжатия)
- •2.3. Метод сечений
- •2.4. Нормальное напряжение
- •2.5. Закон равномерного распределения нормального напряжения при растяжении (сжатии)
- •2.6. Предел прочности
- •2.7. Условие прочности
- •3.Внутренние силовые факторы (всф)
- •3.1. Случай воздействия внешних сил в одной плоскости
- •3.2. Основные соотношения между погонной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx
- •Отсюда вытекает соотношение, называемое первым уравнением равновесия элемента балки
- •4.Эпюры всф
- •5. Правила контроля построения эпюр
- •6. Общий случай напряженного состояния
- •6.1.Нормальные и касательные напряжения
- •6.2. Закон парности касательных напряжений
- •7. Деформации
- •8. Основные предположения и законы, используемые в сопротивлении материалов
- •8.1. Основные предположения, используемые в сопротивлении материалов
- •8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов
- •При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.
- •9. Примеры использования законов механики для расчета строительных сооружений
- •9.1. Расчет статически неопределимых систем
- •9.1.1. Статически неопределимая железобетонная колонна
- •9.1.2 Температурные напряжения
- •9.1.3. Монтажные напряжения
- •9.1.4. Расчет колонны по теории предельного равновесия
- •9.2. Особенности температурных и монтажных напряжений
- •9.2.1. Независимость температурных напряжений от размеров тела
- •9.2.2. Независимость монтажных напряжений от размеров тела
- •9.2.3. О температурных и монтажных напряжениях в статически определимых системах
- •9.3. Независимость предельной нагрузки от самоуравновешенных начальных напряжений
- •9.4. Некоторые особенности деформирования стержней при растяжении и сжатии с учетом силы тяжести
- •9.5. Расчет элементов конструкций с трещинами
- •Порядок расчета тел с трещинами
- •9.6. Расчет конструкций на долговечность
- •9.6.1. Долговечность железобетонной колонны при наличии ползучести бетона
- •9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов
- •9.7 Теория накопления микроповреждений
- •10. Расчет стержней и стерневых систем на жесткость
- •Составные стержни
- •Стержневые системы
- •10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции
- •10.2. Формула Мора для стержневых систем
- •11. Закономерности разрушения материала
- •11.1. Закономерности сложного напряженного состояния
- •11.2. Зависимость иот касательных напряжений
- •11.3. Главные напряжения
- •Вычисление
- •11.4. Виды разрушений материалов
- •11.5.Теории кратковременной прочности
- •11.5.1.Первая теория прочности
- •11.5.2.Вторая теория прочности
- •11.5.3.Третья теория прочности (теория максимальных касательных напряжений)
- •11.5.4.Четвертая теория (энергетическая)
- •11.5.5. Пятая теория – критерий Мора
- •12. Краткое изложение теорий прочности в задачах сопротивления материалов
- •13. Расчет цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего давления
- •14. Усталостное разрушение (циклическая прочность)
- •14.1. Расчет сооружений при циклическом нагружении с помощью диграммы Вёлера
- •14.2. Расчет сооружений при циклическом нагружении по теории развивающихся трещин
- •15. Изгиб балок
- •15.1. Нормальные напряжения. Формула Навье
- •15.2. Определение положения нейтральной линии (оси х) в сечении
- •15.3 Момент сопротивления
- •15.4 Ошибка Галилея
- •15.5 Касательные напряжения в балке
- •15.6. Касательные напряжения в полке двутавра
- •15.7. Анализ формул для напряжений
- •15.8. Эффект Эмерсона
- •15.9. Парадоксы формулы Журавского
- •15.10. О максимальных касательных напряжениях (τzy )max
- •15.11. Расчеты балки на прочность
- •1. Разрушение изломом
- •2.Разрушение срезом (расслоение).
- •3. Расчет балки по главным напряжениям.
- •4. Расчет по III и IV теориям прочности.
- •16. Расчет балки на жесткость
- •16.1. Формула Мора для вычисления прогиба
- •16.1.1 Методы вычисления интегралов. Формулы трапеций и Симпсона
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •. Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •16.2.1 Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •16.2.2 Правила Клебша
- •16.2.3 Условия для определения с и d
- •Пример вычисления прогиба
- •16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера
- •16.4. Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании
- •16.5. Бесконечная балка на упругом основании
- •17. Потеря устойчивости
- •17.1 Формула Эйлера
- •17.2 Другие условия закрепления.
- •17.3 Предельная гибкость. Длинный стержень.
- •17.4 Формула Ясинского.
- •17.5 Продольный изгиб
- •18. Кручение валов
- •18.1. Кручение круглых валов
- •18.2. Напряжения в сечениях вала
- •18.3. Расчет вала на жесткость
- •18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней
- •18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля
- •18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля
- •18.7. Кручение стержней открытого профиля
- •19. Сложная деформация
- •19.1. Эпюры внутренних силовых факторов (всф)
- •19.2. Растяжение с изгибом
- •19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом
- •19.4 Косой изгиб
- •19.5. Проверка прочности круглых стержней при кручении с изгибом
- •19.6 Внецентренное сжатие. Ядро сечения
- •19.7 Построение ядра сечения
- •20. Динамические задачи
- •20.1. Удар
- •20.2 Область применения формулы для коэффициента динамичности
- •Выражение коэффициента динамичности через скорость ударяющего тела
- •20.4. Принцип Даламбера
- •20.5. Колебания упругих стержней
- •20.5.1. Свободные колебания
- •20.5.2. Вынужденные колебания
- •Способы борьбы с резонансом
- •20.5.3 Вынужденные колебания стержня с демпфером
- •21. Теория предельного равновесия и её использование при расчете конструкций
- •21.1. Задача изгиба балки Предельный момент.
- •21.2. Применение теории предельного равновесия для расчета
- •Литература
- •Содержание
10.2. Формула Мора для стержневых систем
Для отдельного стержня при растяжении имеем:
Если система содержит несколько стержней, то можно просуммировать работы каждого стержня. Согласно закону Гука:
В результате формулу Мора можно записать в виде:
- усилия растяжения стержней, которые возникают от действия единичной силы.
- удлинения стержней, которые появляются под действием силы Р.
Пример: рассмотрим систему, приведенную на рис. 10.1.1. Найдем сначала .
Ранее усилия растяжения при действии силы Р уже были получены.
Рис.10.3.1
Решим теперь задачу о единичной силе (рис.10.3.2)
Рис.10.3.2
Найдем удлинения
Подставим в формулу Мора:
.
Направление перемещения мы угадали, так как имеет знак “+”.
Найдем . Для этого рассмотрим 3-ю задачу о действии единичной силыТ=1 (см.рис.10.3.3.).
Получим:
Как и в задаче о вычислении имеем:
Таким образом:
.
11. Закономерности разрушения материала
11.1. Закономерности сложного напряженного состояния
а) Напряжение на косых площадках.
Рассмотрим простое растяжение стержня.
Рис.11.1
Вырежем элемент под углом
Рис.11.2
Выразим через (известный закон параллелограмма, справедливый для сил, для напряжений не применим).
Так как призма находится в покое, то .
Рис.11.3
Имеем:
(11.1)
По закону параллелограмма:
(11.2)
Подставляя сюда (11.1) получим:
Из рис.11.1 следует, что
Таким образом, получаем:
(11.3)
С учетом того, что направлена по Oz, формулы запишем в виде:
.
б) Ортогональное нагружение.
Рис.11.4.
Если рассматриваемый угол заменить углом, то выкладки будут совершенно аналогичными. Тогда получим:
(11.4)
Согласно рисунку 11.4, напряжение должно быть направлено вверх, а не вниз как на рис.11.2. Поэтому в (11.4) в выражении дляпоставлен знак “-“.
11.2. Зависимость иот касательных напряжений
Вырежем из тела призму (рис.11.5). Пусть на его грани действуют напряжения . В силу закона парности:
Рис.11.5. Рис.11.6.
Выразим через
Составим уравнения равновесия:
Поделим эти два уравнения на (). Учитывая закон парности получим:
Отсюда, складывая, получим:
Аналогично найдем:
11.3. Главные напряжения
Рассмотрим общий случай воздействия на элемент тела напряжений.
Для этого сложим все 3 формулы и получим :
Эти формулы подобны формулам для осевых и центробежных моментов инерции для повернутых осей. Поэтому аналогично вводятся и понятия главных напряжений и главных площадок. Если вычислить для разных углов, то можно найти максимальное и минимальное. Эти напряжения называютсяглавными.
Обозначается:
Главные площадки – это сечения, на которых экстремальны.
Угол , который определяет положение главных площадок, получаем по теореме Ферма: придолжно быть
Отсюда находим .
Аналогично теории геометрических характеристик можно видеть, что на этих новых площадках касательных напряжений не будет, т.е.
.
Следствие:
Всегда можно найти в теле такое положение малого элемента, в котором он только растягивается или сжимается, причем эти напряжения будут экстремальными.
Примечание: согласно свойствам , если взять угол, то условиеснова удовлетворится. Таким образом, существуют 2 главные площадки под угламии.