9. Примеры использования законов механики для расчета строительных сооружений

9.1. Расчет статически неопределимых систем

9.1.1. Статически неопределимая железобетонная колонна

Рассмотрим бетонную колонну с металлической арматурой, нагруженную через жесткую плиту силой F (рис.9.1). Примем следующие исходные данные (они приняты таковыми только для демонстрации метода отыскания внутренних сил).

Рис.9.1

Дано:

Найти: Силу сжатия бетона и силу сжатия арматуры .

Решение: Возьмем сечение:

Рис.9.2

На это сечение сила давления F распределяется не одинаково, хотя суммарно имеет место равенства:

-(9.1)

Здесь знак «-» поставлен потому , что имеет место сжатие сечения. Уравнение (9.1) имеет бесконечное множество решений. Уравнений равновесия для однозначного определения сил сжатия бетона и арматуры записать не удается. Поэтому задача называется статически неопределимой. Поскольку методами теоретической механики выбрать решение, отвечающее реальности, невозможно, то для этого используем свойство тел деформироваться, т.е. кинематические соображения и закон Гука. Из рисунка рис.9.1 видно, что и бетон, и арматура укорачиваются одинаково, т.е.

Это соотношение называется уравнением совместности деформации.

Подставим сюда закон Гука.

.

Найдем соотношение знаменателей:

.

Тогда получим:

.

Отсюда

.

Подставляя в (9.1) найдем:

.

Отсюда:

Вывод: хотя арматуры в колонне в два раза меньше чем бетона, но она воспринимает основную часть нагрузки (а именно - 71% нагрузки).

9.1.2 Температурные напряжения

Рассмотрим ту же колонну, но не нагруженную, но в которой произошел перепад температуры на 100. Примем следующие исходные данные (они приняты таковыми только для демонстрации метода отыскания температурных напряжений).

Дано:

Найти:

Решение:

От перепада температур деформации в несвязанных арматуре и бетоне были бы разные, но в колонне они воздействуют друг на друга, следовательно:

.

С другой стороны, колонна не нагружена, следовательно, нет суммарных сил сжатия на любые сечение. Следовательно:

(9.2.1)

Поскольку неизвестных два, а уравнение одно, то снова привлечем геометрические соображения. Из рисунка видно, что и бетон, и арматура могут укорачиваться только одинаково. Тогда:

(9.2.2)

Запишем выражения для удлинений с учетом закона Гука и Дюгамеля-Неймана:

Подставим в условие совместности деформации (9.2.2). С учетом исходных данных получим:

.

Умножая на и учитывая исходные данные, получим:

(9.2.3)

Таким образом, имеем систему уравнений (9.2.1), (9.2.3):

Решая, получим:

.

Знак «+» говорит о том, что арматура растянута. Из (9.2.1) вытекает, что , следовательно, бетон сжат.

Отметим следующий интересный факт. Хотя бетон сжат, но ввиду нагрева вся колонна, а значит и бетонная ее часть, удлинились.

Действительно, подсчитаем:

Знак «+» говорит о том, что колонна удлинилась.

Можно подсчитать напряжения:

Видно, что арматура является более нагруженной, чем бетон.