14.2. Расчет сооружений при циклическом нагружении по теории развивающихся трещин

Циклическая нагрузка приводит к развитию трещин во времени. Из экспериментов выявлено, чтоскорость подрастания трещины тем больше, чем больше размах напряжения растяжения и чем больше длина трещины.

Обозначим через - скорость подрастания трещины, то есть:

(14.2)

Итак, тем больше, чем больше размах напряжения растяженияи чем больше длина трещиныb. Это утверждение можно записать в виде:

(14.3)

Здесь В, m, n – механические характеристики материала.

Эксперименты показывают, что для всех материалов степень n в два раза меньше чем m, т.е.

Тогда:

(14.4)

Это соотношение называется законом роста трещины.

Если напряжение изменяется во времени, т.е. , то закон запишется в виде:

(14.5)

Это дифференциальное уравнение относительно длины трещины b. Оно решается методом разделения переменных:

(14.6)

Отсюда получим:

(14.7)

Константу С определяют из начальных условий, т.е. из условия, что в начальный момент длина трещины известна. Пусть при t = 0 начальная длина трещины равна b₀. Тогда

(14.8)

Рассмотрим случай, когда можно считать, что размах напряжения постоянен, то есть

f(t) = const=Δσ_o.

Из (14.7) вытекает выражение

(14.9)

Таким образом, в любой момент времени можно вычислить длину трещины.

Согласно формуле Гриффитса, зная длину трещины можно найти предел прочности , при котором произойдет разрушение:

.

Здесь Е модуль Юнга, а - механическая характеристика материала.

Подставляя найденную длину трещины b в условие разрушения , получаем уравнение для отыскания времени разрушенияt^*:

(14.10)

Отсюда находим t^*:

Еще раз отметим, что константы Е, m, а, В являются механическими характеристиками материала, - размах напряжения растяжения элемента, константаС определяется по формуле (14.8), в которой - первоначальная длина трещины.

Уменьшая t* на коэффициент запаса k , получаем [t] - допустимое значение времени эксплуатации сооружения.

15. Изгиб балок

15.1. Нормальные напряжения. Формула Навье

Рассмотрим элемент изогнутой балки (рис. 15.1-15.2)

рис.15.1 рис. 15.2

Здесь - момент внешних сил, которые воздействуют на наше сечение слева или справа (по определению он называется изгибающим моментом).

Ясно, что верхние волокна сжимаются (например, ВС), а нижние - растягиваются. Между ними есть волокно LN, которое не деформируется (рис.15.2). Очевидно, что чем дальше волокна от LN, тем больше удлинение волокон, значит по закону Гука и сила их растяжения больше. Таким образом, максимальное напряжение будет там, где волокна наиболее удалены от .

Для вывода формулы вычисления напряжений используем метод сечений. Рассмотрим поперечное сечение DК (рис.15.2, 15.3)). Проведем ось х через точку Н (рис 15.3). На этой линии, напряжений не будет.

Определение: Линия HR, на которой нет напряжений, называется нейтральной.

Таким образом, ось будет лежать на нейтральной линии, так как на ней(для удобства записи индексы для напряженийσ_z , τ_zy в дальнейшем будем опускать).

На верхнюю часть нашего элемента правая часть балки действует сжимающим напряжением , а на нижнюю - растягивающим (см.рис.15.3).

Разобьем сечение на малые микроплощадки dA. Рассмотрим одну из них. На неё с правой стороны действует следующая сжимающая сила:

(15.1)

рис. 15.3

Относительно оси силаимеет плечо, следовательно,создаёт момент: dM = в dN (15.2) Из рисунка видно, что плечо в - это координата центра микроплощадки . Значитв = у. Тогда: (15.3)

Суммируя, получаем результирующий момент, который создают напряжения :

(15.4)

Поскольку вся балка находится в покое, то и любой его элемент тоже статичен. Следовательно, можно записать уравнение статики и для элемента, изображенного на рис.15.3. Запишем его в виде:

.

Отсюда:

(15.5)

Для отыскания из (15.5) учтем, что чем дальше микроплощадка от, тем больше. То есть, чем большев, тем больше . Учитывая, чтов = у, эту фразу можно записать в виде:

(15.6)

Здесь - коэффициент пропорциональности, а знак «-» поставлен потому, что при(т.е. в верхней части) действуют сжимающие напряжения.

Примечание. Соотношение (15.6) можно считать первым членом разложения функцииσв ряд Маклорена по аргументуу.

Найдем (если известен, то будем знать формулу для).

Подставим в (15.5), тогда:

(15.7)

Согласно определению - это момент инерции сечения. Таким образом,

.

Окончательно формула для принимает вид:

(15.8)

Здесь у - это координата точки (микроплощадки ), в которой вычисляется напряжение,-осевой момент инерции. Формулу (15.8) нередко называют формулой Навье.

Примечание. Согласно закону Гука по формуле (15.6) получим, что. Это означает, что линияGG′ - прямая. Эксперимент подтверждает этот вывод для длинных балок. Тогда, можно пойти дальше и считать, что сечение со следом ВG остается плоским. Это предположение называют гипотезой Бернулли. Его обычно принимают за исходное положение. Тогда формула (15.6) будет следствием гипотезы Бернулли.