лекции Каюмова по сопромату
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Р.А.Каюмов
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ 290300, 270100
27010, 291100
Казань
2010г.
УДК 539.2/.6
ББК 30.121 К31
Каюмов Р.А.
К31 Сопротивление материалов. Конспект лекций. Казань: КГАСУ, 2010.- 170с.
ISBN 978-5-7829-0282-7
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета
В учебном пособии изложены основные понятия, допущения и законы, применяемые в сопротивлении материалов, методы решения задач растяжения, изгиба, кручения и потери устойчивости брусьев. Теоретическое изложение сопровождается примерами расчета.
Учебное пособие предназначено для студентов специальностей:
290300,270100,27010,291100.
Табл.6. Илл. 102. Библиогр. 20 назв.
Рецензенты:
заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» КГТУ имени А.Н.Туполева академик АН РТ, доктор физико-математических наук профессор В.Н.Паймушин
заведующий кафедрой «Теоретическая механика и сопротивление материалов» КГТУ имени С.М.Кирова доктор физико-математических наук
профессор |
М.Н.Серазутдинов |
|
УДК 539.2/6. |
|
ББК 30.121 |
|
Казанский Государственный |
|
АрхитектурноСтроительный |
|
Университет, 2010 |
JSBN 978-5-7829-0282-7 |
Каюмов Р.А., 2010 |
2
ВВЕДЕНИЕ
В 1638 году вышла книга Галилео Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению», этот год и считается годом рождения науки о сопротивлении материалов (а также раздела «динамика» теоретической механики), хотя некоторые правила оценки прочности сооружений были известны задолго до этого.
Сопротивление материалов – это наука, которая изучает (в узком смысле) проблемы прочности, жесткости и устойчивости брусьев -
элементов различных сооружений и конструкций (брус - это тело, у которого два размера много меньше 3-его).
Конструкция называется разрушенной, если под действием нагрузок она разделяется на части. Будем говорить, что конструкция выдержит данную внешнюю нагрузку, если она не разрушится при этой нагрузке.
Конструкция называется прочной, если под действием рабочей (проектной) нагрузки не возникает таких воздействий на его элементы, которые превышают их нормативные значения, вызывающие опасность разрушения (рабочими или проектными называются нагрузки, которые предполагается прикладывать к конструкции по проекту). Эти нормативные значения назначаются заказчиками. Поэтому, когда говорят, например, что вторая конструкция является более прочной по сравнение с первой, то это означает, что величины воздействий на элементы второй конструкции меньше по сравнению с первой.
Конструкция называется жесткой, если рабочие нагрузки вызывают ее деформацию в пределах нормы.
Упругая конструкция называется устойчивой, если после добавления к внешним силам небольших нагрузок, конструкция также деформируется мало, а после снятия этих нагрузок возвращается в исходное состояние равновесия.
Для решения вопросов прочности, жесткости и устойчивости брусьев большое значение имеют их размеры и форма, особенно геометрические характеристики их поперечных сечений. Как и в других дисциплинах, некоторые термины в сопротивлении материалов имеют двоякое значение.
3
Например, говорят «проведем сечение». Это означает, что тело мысленно разделено (рассечено) на две части плоскостью П (см. рис.1). Если не оговорено противное, то сечение проводят всегда перпендикулярно оси бруса.
П 
D
Рис 1. Сечение бруса
С другой стороны, под термином «сечение» понимают плоскую фигуру D, площадь которой обозначается буквой А.
Весьма специфичным в сопротивлении материалов является вопрос о системе координат. При определении реактивных сил и моментов можно использовать любую систему. При определении же величин, являющихся предметом сопротивления материалов, для того, чтобы формулы были простыми, используются следующие правила для введения системы координат.
1.Проводится сечение (см. рис. 2). Его положение обычно определяется продольной координатой s (длиной дуги оси бруса). Начало координаты s может вводиться произвольно (оно может быть на левом конце, в середине бруса и т.д.). В криволинейных брусьях положение сечения может определяться угловой координатой.
2.В исследуемом сечении вводится местная правая система координат xyz (рис. 2), причем, ось z направляется по оси бруса. Начало координат располагается в центре тяжести сечения .
y
x
z
s
Рис.2
Таким образом, в первую очередь необходимо уметь определять центр тяжести фигуры. Кроме того, жесткость и прочность балки при изгибе зависит от того, в каком направлении приложены силы. Следовательно, необходимо уметь определять направление наибольшей жесткости балки. Помочь решить эти вопросы позволяет теория геометрических характеристик сечений бруса, некоторые основные положения которой изложены ниже.
4
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
Одним из наиболее важных понятий во многих дисциплинах (в частности, в сопромате) является понятие момента некоторого объекта относительно оси. В различных областях науки вводятся различные моменты в зависимости от исследуемого объекта (например, в теоретической механике вводят момент силы, в теории вероятности вводят моменты случайной величины, в математике – момент и т.д.). Все они связаны с понятием плечо, которое представляет собой расстояние от объекта до оси. Если умножить плечо на величину, которая характеризует объект, то получим момент первого порядка. Если взять квадрат плеча, то получим момент второго порядка, если взять плечо в третьей степени, то получим момент третьего порядка и т.д.
1.1.Статический момент фигуры
Втеории геометрических характеристик сечений бруса исследуемым объектом является площадь A этого сечения. Для нее вводится ряд следующих новых определений.
Расстояние а от центра A до оси х назовем ее плечом (см. рис1.1).
Статическим моментом Sx |
относительно оси х площади A |
|
называется произведение A на а: |
|
|
S |
x |
A a |
|
|
|
Учитывая обозначение а = уц.т |
|
, запишем: |
S |
x |
A y |
|
ц.т. |
(1.1)
y A
yц.т. a
x
Рис1.1
Если фигура не каноническая (т.е. нет формул для вычисления ее площади и координат центра тяжести), то ее разбивают на несколько составных частей канонической формы. Тогда
S |
x |
A |
y(1) |
A |
y(2) |
... |
(1.2) |
|
(1) |
ц.т. |
(2) |
ц.т. |
|
|
5
Далее будет применяться стандартный в анализе подход, согласно которому площадь разбивается на бесконечно малые площади dA (см. рис 1.2). Тогда для каждой из них мы можем найти статический момент:
dS |
x |
dA с |
|
|
Учитывая, что с = у запишем:
dS |
x |
dA y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
dA |
y с |
|
|
(1.3)
(1.4)
|
x |
|
Рис.1.2 |
|
|
Просуммировав их, найдем статический момент всей фигуры |
||
относительно оси х. |
|
|
Sx dSx dSx |
y dA |
(1.2) |
A |
A |
(1.5) |
|
||
Аналогично вводится понятие статического момента относительно оси
у:
S |
|
A x |
A |
x |
(1) |
A |
x |
(2) |
... |
y |
|
|
|||||||
|
ц.т. |
(1) |
ц.т. |
(2) |
ц.т. |
|
|||
(1.6)
Если фигура не каноническая, то статический будет:
Sy |
x dA |
|
A |
момент относительно оси у
(1.7)
(1.8)
Отсюда вытекают формулы для вычисления координат центра тяжести фигуры:
xц.т. Sy A
y |
|
S |
x |
|
|||
ц.т. |
|
A |
|
|
|
||
( 1.9)
Этими формулами удобно пользоваться, если фигура может быть разбита на части канонической формы. Тогда из (1.2) (1.6) (1.9), получим:
|
A |
x(1) |
A |
x(2) |
... |
|
|
A |
y(1) |
A |
y(2) |
... |
|
||
xц.т. |
(1) |
ц.т. |
(2) |
ц.т. |
|
|
, |
yц.т. |
(1) |
ц.т. |
(2) |
ц.т. |
|
|
(1.10) |
|
A(1) |
A(2) |
... |
|
|
|
A(1) |
A(2) |
... |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6
1.2.Моменты второго порядка
1.2.1.Осевой момент инерции
Рассмотрим бесконечно малую площадь dA (см. рис.1.3).
Осевым моментом инерции dJx относительно оси х бесконечно малой площади dA называется произведение dA на квадрат плеча, то есть на у2:
y
О
dJ |
|
dA y |
2 |
x |
|
||
|
|
|
dA
y
x
Рис. 1.3
Если фигура имеет конечную площадь А, то как обычно, разбиваем ее на бесконечно малые площади и для каждой из них вычисляем dJx. Просуммировав их, найдем осевой момент инерции всей фигуры:
J x |
dJ x |
dJ x |
y |
2 |
dA |
|
|||||
|
|
A |
A |
|
|
(1.11)
Аналогично вводится осевой момент инерции относительно оси у:
J y x |
2 |
dA |
(1.12) |
|
|
A
Из (1.11), (1.12) видно, что осевые моменты инерции |
J x , J y |
равны нулю и не бывают меньше нуля, они всегда положительны.
никогда не
1.2.2. Центробежный момент площади
Аналогично осевым моментам (1.11), (1.12) вводится момент с помощью соотношения:
Jxy x y dA
A
1.2.3. Свойства симметричных фигур
Если фигура симметрична то:
центробежный
(1.13)
1)Ось симметрии является центральной.
2)Относительно любой системы координат, у которой одна из осей совпадает с осью симметрии, центробежный момент равен нулю:
Jxy=0 |
(1.14) |
7
y
dA1
y |
|
1 |
|
|
x Ось симметрии |
y |
2 |
|
|
|
dA |
|
2 |
Рис.1.4
Доказательство:
Для dA1 найдется
dA2 , такая что dA2 dA1 , при этом будет y1 y2 .
Тогда
|
x |
|
|
ydA |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
S |
|
|
|
y dA |
|
y dA |
|
y dA |
|
y dA |
||||||||||
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
Используя формулу (1.8)
Отсюда следует, что:
получим:
S |
x |
y |
A 0 |
|
ц.т. |
|
y |
0 |
ц.т. |
|
Аналогично доказывается второе утверждение:
J |
xy |
|
|
x y dA |
|
x y |
dA |
|
x y |
2 |
dA |
|
x y |
dA |
|
x y |
dA 0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1.2.4. Геометрический и механический смысл моментов |
||||||||||||||||||
Напомним формулу (1.8): |
Sx A yц.т. . Если ось x проходит через центр |
|||||||||||||||||
тяжести (см. рис.1.5), то yц.т. |
0 , следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S x |
yц.т. A 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же |
уц.т. |
не равно нулю, то чем больше площадь А или плечо уц.т. , |
||||||||||||||||
тем больше Sх . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, Sx - |
характеризует и величину площади фигуры, и |
|||||||||||||||||
удаленность ее от оси x. При этом, если фигура лежит над осью x, то Sx |
0 |
, |
если ниже оси x, то Sx 0 . |
|
|
Рис. 1.5
8
Моменты J x , J y |
- характеризуют инерцию |
|||||
соответствующей оси. |
|
|
|
|
|
|
Например, на рис.1.6 |
Jx1 > Jx2 |
|
|
|
|
|
|
y |
J |
|
1 |
J |
2 |
|
|
x |
|
x |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
вращения тела около
2
x
Рис.1.6
С точки зрения сопротивления материалов J x , J y характеризуют
жесткость бруса на изгиб. Например, балка с сечением, отмеченным на рис 1.6 цифрой 1, будет жестче балки со вторым сечением при вертикальном изгибе.
1.2.5. Формулы для вычисления моментов инерции канонических фигур
1.2.5.1. Формулы для вычисления моментов инерции прямоугольника относительно центральных осей:
Выразим площадь dA в формулах (1.11), (1.12) через малые отрезки
dх, dy : |
dA dx dy |
|
Заменяя в (1.12) интеграл по площади кратным интегралом, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
J y x2dA x2dx dy dy x2dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
3 |
h |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
b |
3 4 |
12 |
|
|
12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично найдем J x . Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
J x |
b h3 |
|
J y |
|
b3 h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
|||||||||
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Центробежный момент равен нулю Jху = 0, поскольку оси х,у совпадают с осями симметрии.
9
1.2.5.2. Формула для вычисления момента инерции окружности относительно центральных осей
Ее получают аналогично.
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
J |
x |
J |
y |
|
4 |
|
J |
xy |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.16)
Центробежный момент равен нулю, поскольку оси х,у совпадают с осями симметрии.
1.2.5.3. Формула для вычисления момента инерции треугольника
Поскольку любой треугольник можно представить в виде суммы двух прямоугольных, то приведем формулы для следующего случая:
J y b3 h
12
|
|
|
b h |
3 |
J |
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
c |
|
36 |
|
|
|
|
|
(1.17)
1.2.6. Связь моментов относительно разных осей 1.2.6.1. Связь моментов относительно параллельных осей
Рассмотрим следующую задачу. Пусть даны
а необходимо найти Jx |
, J y |
, Jx y |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
Согласно определению |
2 |
|
y2 dA, |
||||
Jx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
J |
x |
, J |
y |
, J |
x y |
, a,b |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
(см. рис.1.7),
10