лекции Каюмова по сопромату

b - ширина сечения на уровне того микроэлемента, в котором вычисляется (если фигура не прямоугольник, то ширина b будет разная на разных уровнях рассматриваемого микроэлемента);

сечения, которая лежит ниже рассматриваемого малого элемента (т.е. фигуры BCDK), , в котором вычисляется ,

(уц.т.)отс - координата центра тяжести отсеченной площади BCDK.

15.6. Касательные напряжения в полке двутавра

Как и ранее, вырежем из балки диск шириной ds (рис. 15.10), а из него затем с помощью вертикального сечения I-I вырежем часть полки (рис. 15.11). Обозначим через BC расстояние от левого конца полки до сечения I-I На эту часть полки спереди и сзади действуют растягивающие напряжения, мало отличающиеся друг от друга, а именно, отличающиеся на величину d .

уравновешиваться. Этими силами могут быть только касательные напряжения, которые воздействуют на правое сечение KCDG этого элемента

Запишем уравнение равновесия:

Fz 0 : AKCDG ( d ) ABCDH ABCDH 0 (15.21)

В отличие от предыдущего раздела здесь не интегрируем по площади BCDH, так как толщина полок t мала, поэтому можно считать, что

по высоте полки. Кроме того, ввиду малости t можно считать что y h2 .

Тогда получим из (15.21):

91

Следствия. Как видно из формул (15.20), (15.23), касательные напряжения возникают только там, где поперечная сила Qy отлична от нуля.

15.7. Анализ формул для напряжений

Рассмотрим сначала формулу Навье:

x. Отсюда видно, что форма сечения имеет большое значение при изгибе балки.

Расчеты показывают, например, что из 3-х балок одинакового веса, сечения которых приведены на рис.15.14, наиболее прочным является двутавр, а наименее прочным - балка круглого сечения.

92

Рис.15.14

15.8. О максимальных касательных напряжениях (τzy )max

В большинстве случаев (τzy )max достигает наибольшего значения на уровне центра тяжести сечения. Это относится к сечениям прямоугольной, круглой, двутавровой формы и им подобным. Однако в нестандартных случаях необходимо строить эпюру касательных напряжений, т.к. максимальные касательные напряжения действуют на сечение не всегда на

высоте сечения получается для балки с сечением вида креста. В области центра тяжести ширина сечения много больше, чем у вертикальных стенок. Значит, в формуле Журавского в знаменателе величина b будет большая, следовательно, и напряжения в полке (горизонтальной части сечения) будут малы. Тогда эпюра будет иметь вид, приведенный на рис. 15.19.

Рис. 15.19

Таким образом, (τzy )max возникает не всегда на уровне центра тяжести сечений.

93

15.9. Эффект Эмерсона

Рассмотрим балку круглого сечения

Рис.15.15

Уберем часть материала сверху и снизу (см. рис.15.15). Оказывается, если срез не очень большой, то max уменьшается, т.е. прочность балки

возрастает. Это происходит потому, что при малых α в формуле Навье координата у уменьшается быстрее, чем уменьшается J x .

Расчеты показали, что при 24 , имеет место наибольшее упрочнение балки (но совсем мало - на 0.7%).

Еще большим эффектом обладают балки, сечение которых представляет собой ромб (для них упрочнение достигает нескольких процентов)

Таким образом, для некоторых балок уменьшение высоты его сечения (в некоторых пределах) не приводит к уменьшению еѐ прочности, а даже напротив, уменьшение высоты сечения положительно сказывается на прочности балки. Этот эффект называется эффектом Эмерсона.

15.10. Парадоксы формулы Журавского

Рис.15.16. Рис.15.17.

94

Рассмотрим малый элемент, высота которого много меньше толщины полки (см. рис. 15.16.). По формуле Журавского.

С другой стороны, согласно рис.15.17 на верхней грани никаких воздействий нет, поскольку это свободная поверхность полки. Из условия

Это противоречие вызвано тем, что в сопромате много пренебрежений малыми величинами. Если построить эпюру по высоте двутавра по формуле Журавского, то получим картину, изображенную на рис.15.18. В данной задаче в полке значения напряжения (вычисленные по формуле (15.24)) хоть и отличны от 0, но очень малы (обычно они составляют менее

используются, а их уточнение бессмысленно.

y

Рис.15.18

(Отмеченное выше противоречие аналогично противоречию вида 2.48 ≈ 2.5, из которого тоже вытекает, что якобы 0.02=0).

15.11. Расчеты балки на прочность

При расчетах балок на прочность нужно учитывать возможность различных видов разрушения. Рассмотрим их. Как и ранее для удобства записи индексы для напряжений σz , τzy будем опускать.

1. Разрушение изломом

Рассмотрим малый элемент на поверхности балки (рис.15.6, 15.20).

прочн

Рис.15.20

95

Этот элемент разрушится в результате появления вертикальной трещины. Поэтому произойдет излом балки под действием силы F (рис. 15.21).

Рис. 15.21

Такое разрушение не произойдет, если нормальное напряжение σ будет меньше предела прочности. Уменьшая предел прочности на коэффициент запаса, получим условие прочности в виде

< [ ]

Это условие называется условием прочности балки по нормальным напряжениям.

2.Разрушение срезом (расслоение).

Иногда балки разрушаются расслоением (рис.15.22). Это происходит потому, что некоторый малый элемент получает трещину, параллельную оси балки. Рассмотрим изгиб балки под действием поперечной силы и исследуем малый элемент в области центра тяжести (рис.15.22).

Рис.15.22

Он разрушится в результате появления горизонтальной трещины. Такое разрушение не произойдет, если касательное напряжение будет меньше предела прочности. Уменьшая предел прочности на коэффициент запаса, получим условие прочности в виде:

Это условие называется условием прочности по касательным напряжениям.

3. Расчет балки по главным напряжениям.

Эксперименты показывают, что высокие балки из хрупких материалов иногда разрушаются из-за появления наклонных трещин. Это означает, что некоторые малые элементы разрушаются под действием напряжений

96

Это условие называется условием прочности по главным напряжениям.

Поскольку бетон плохо работает на растяжение, то в железобетонных конструкциях целесообразно арматуру укладывать вдоль направления

растягивающих сил воспринималась арматурой. Вычислив max в ряде точек

97

можно (хотя бы приближенно) провести линии, вдоль которых действуют эти напряжения. Эти линии называют траекториями главных напряжений. Впервые исследования в этом направлении проведены в 1870-1876г.г. Н.А.Белелюбским. На рис.15.25 приведена схема железобетонной балки, трактории главного напряжения max и вариант армирования.

Рис.15.25

4. Расчет по III и IV теориям прочности.

Балки из пластических материалов, имеющих одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, проверяют обычно по III или IV теориям прочности.

Согласно третьей теории условие прочности имеет вид:

Это условие называется условием прочности балки по третьей теории прочности

Аналогично можно записать условие прочности по четвертой теории:

2. При проверке по III или IV теориям также, как и при проверке по I теории, необходимо строить эпюры eff по высоте балки аналогично тому, как это

представлено на рис.15.24 для max .

4. Видно, что при расчете балок III теория дает больший запас прочности по сравнению с четвертой (до 15%). Однако, как было отмечено ранее, для стали с экспериментом лучше коррелирует IV теория.

98

16. РАСЧЕТ БАЛКИ НА ЖЕСТКОСТЬ

Балка называется жесткой, если для заданных (рабочих, проектных) нагрузок она прогибается в пределах нормы (норму устанавливает заказчик). Введем следующую терминологию:

CD – пролет, BC – консоль (левая), DH – консоль (правая) Часто в строительстве принимаются следующие условия:

Основная трудность проверки жесткости - это вычисление прогибов. Методов их вычисления достаточно много, ниже рассмотрим два из них.

16.1. Формула Мора для вычисления прогиба

Пусть необходимо найти прогиб точки В, т.е. перемещение vB.(рис.16.2)

q

Рис. 16.2

Для решения задачи применим закон сохранения энергии в варианте

принципа возможных перемещений. В качестве возможных выберем прогиб (здесь и далее величины, характеризующие основную задачу, т.е задачу об изгибе балки под действием рабочих нагрузок, будут снабжаться индексом q).

Рассмотрим далее фиктивную задачу (рис.16.3)

Рис. 16.3

99

Согласно закону сохранения энергии эта работа должна равняться работе внутренних сил, вызванных силой Т, на перемещениях, вызванных рабочими нагрузками. Подсчитаем еѐ, обозначив через W.

Рассмотрим рис.16.2 и рис.16.3. Выделим малый элемент балки (он

Рис. 16.4

Рассмотрим этот же малый элемент под действием напряжений

Работа по удлинению всех элементов балки будет:

l

W dW ds (T ) (q) dA .

0 A

По закону Гука:

100