лекции Каюмова по сопромату

Из условия равновесия левой части стержня (см.рис.18.20) вытекает, что

dM M z .

Найдем геометрический смысл подынтегрального выражения. Рассмотрим нашу площадку (рис.18.23). Из рисунка видно, что площадь

Интеграл – это сумма таких площадей. Таким образом, получим, что интеграл равен удвоенной площади фигуры, которая ограничена штриховой линией, изображенной на рис.18.25.

Определение: Эту площадь А* назовем площадью просвета трубы.

Из (18.19) следует, что при кручении труб разрушение начинается там,

где толщина стенки минимальна.

18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля

Рассмотрим поворот сечения на угол - угол поворота правого торца относительно левого (рис.18.26). При этом точка N перейдет в точку N .

Из рисунка видно, что:

131

Таким образом, получаем следующую формулу Бредта для угла :

132

18.7. Кручение стержней открытого профиля

Рассмотрим кручение стержней с прямоугольным сечением.

m

133

Точное решение получено Сен-Венаном. Но можно получить приближенное решение и инженерными методами, считая, что стержень – это совокупность круглых валов, как это показано на рис.18.30.

Рис.18.30

Рис.18.31

Например, от горизонтальных напряжений момент будет

Для угла закрутки стержня прямоугольного сечения формула имеет

вид:

Здесь в отличие от круглых валов (см.формулу (18.10)) в знаменателе есть коэффициент 2.

134

Если стержень состоит из нескольких прямоугольников (см. рис.18.16), то выкладки (18.28) – (18.31) будут такими же. Изменится только момент

Сравнивая (18.31) с (18.19) можно заметить, что в отличие от

там, где стенка является наиболее толстой. Значит и разрушение начнется в самом толстом месте сечения.

Отметим, что стержни с замкнутым профилем намного прочнее и жестче, чем стержни с открытки профилем. Для примера можно рассмотреть трубу квадратного сечения ширины а, постоянной толщины t (см. рис.18.28).

Вычислим напряжение и угол закрутки для трубы с замкнутым контуром:

Если же разрезать трубу вдоль оси (например, вдоль ребра), то получим

получим:

Видно, что при малых t напряжение 2 и угол 2 будут гораздо больше. Например, если положить а = 20 см., t = 1мм., то получим

Можно сказать, что после разреза трубы прочность понизилась в 300 раз, а жесткость в 30000 раз.

135

19. СЛОЖНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Сложная деформация – это совокупность двух или более простых типов деформации бруса.

Их виды:

1)Растяжение с изгибом.

2)Кручение с изгибом.

3)Кручение с изгибом и растяжением.

4)Растяжение с кручением.

5)Косой изгиб (изгиб в двух плоскостях).

введены в разделе 3.1). В отличие от случая простого изгиба их эпюры строятся в аксонометрии (или в изометрии), причем, обычно эпюры Nz , M z

136

Рассмотрим сечение 3:

Поскольку на втором участке сверху действует погонная сила q, то эпюра M x будет криволинейной и вогнутой.

перпендикулярно оси стержня в произвольном направлении, снабжая знаком «-», если участок сжимается.

откладываются в направлении осей x,y (и наоборот, если рассматривается действие на сечение правой части бруса, то положительные внешние силы дают отрицательные вклады в Qx ,Qy ).

действия сил и моментов, которые их вызывают. Например, в нашем случае M x -по вертикали, M y - по горизонтали.

Рис.19.2

137

опасным является сечение, которое находится на стыке двух участков, на втором участке опасным является сечение, расположенное в заделке.

По эпюрам определяют вид деформации: 1-ый стержень испытывает растяжение с изгибом, 2-ой испытывает сжатие и кручение с изгибом.

19.2. Растяжение с изгибом

Рассмотрим растяжение с изгибом (см. рис.19.3).

Эту формулу иногда называют основной формулой сопромата.

Здесь x, y - это координаты точки (бесконечно малой площадки), в

Рис.19.5

138

Ясно, что из (19.1) следует ряд формул для простых деформаций:

1) Если нет изгиба, то M x M y 0 . Тогда получим для простого

19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом

сжимающее напряжение) и maxраст (максимальное растягивающее напряжение).

(19.2) – это уравнение прямой в плоскости х,у (см.рис.19.6).

Рис.19.6

Напомним определение: прямая, на которой 0 , называется нейтральной.

139

Ясно, что вблизи нейтральной линии напряжение не нуль, но очень мало. И чем дальше от этой линии, тем напряжение больше. Следовательно,

линии.

опасными точками.

19.4 Косой изгиб

Это случай сложной деформации, при котором есть только изгиб в двух плоскостях.

В этом случае в формуле (19.1), полагаем N 0 .

Уравнение нейтральной линии получает вид:

Видно, что нейтральная линия проходит через центр тяжести. Особенностью косого изгиба и растяжения с изгибом в общем случае

является то, что нейтральная линия (штриховая прямая на рис.19.7) не перпендикулярна равнодействующей F поперечных сил Fх , Fу .

Рис.19.7

140