1. Геометрические характеристики сечений

Одним из наиболее важных понятий во многих дисциплинах, в частности, в сопромате является понятие момента некоторого объекта относительно оси. В различных областях науки вводятся различные моменты в зависимости от исследуемого объекта (например, в теоретической механике вводят момент силы, в теории вероятности вводят моменты случайной величины и т.д.). Все они связаны с понятием плечо, которое представляет собой расстояние от объекта до оси. Если умножить плечо на величину, которая характеризует объект, то получим момент первого порядка. Если взять квадрат плеча, то получим момент второго порядка, если взять плечо в третьей степени, то получим момент третьего порядка и т.д.

1. Статический момент фигуры

В теории геометрических характеристик сечений бруса исследуемым объектом является площадь этого сечения. Рассмотрим сначала бесконечно малую площадь dA. Расстояние а от центра dA до оси х назовем ее плечом.

Рис1.1

Статическим моментом dS_x относительно оси х бесконечно малой площади dA называется произведение dA на а:

(1.1)

Учитывая, чтоа=у запишем:

Если фигура имеет конечную площадь, то мы её можем разбить на бесконечно малые площади и для каждой из них найти статический момент. Просуммировав их, найдем статический момент всей фигуры относительно осих.

(1.2)

Аналогично вводится понятие статического момента относительно оси у

(1.3)

Вычисление статических моментов.

Используем для получения формулы вычисления S_x , S_у аналогию с моментом силы в теоретической механике. Будем считать что наша фигура dA имеет толщину t, тогда объём фигуры :

Вес dР фигуры dA равен произведению удельного веса на объём dV :

Обозначаем,

Вес Р всей фигуры вычисляется аналогично:

(1.4)

Рис.1.2

Момент силы dР относительно оси х будет:

(1.5)

Суммируя эти моменты, получим :

(1.6)

Из теоретической механики известно, что равнодействующий момент можно вычислить через равнодействующую силу Р следующим образом:

где- координата точки приложения силыР. Но равнодействующая силы тяжести фигуры приложена в центре тяжести, значит:

(1.7)

Подставляя слева (1.4) получим:

Таким образом:

(1.8)

Аналогично вычисляется статический момент относительно оси у:

(1.9)

Отсюда вытекают формулы для вычисления координат центра тяжести фигуры: (1.10)

0. 1.2. Моменты второго порядка

1. Осевой момент инерции

Рассмотрим бесконечно малую площадь dA (см. рис.1.3).

Осевым моментом инерции dJ_x относительно оси х бесконечно малой площади dA называется произведение dA на квадрат плеча, то есть на у²:

Рис. 1.3

Если фигура имеет конечную площадь А, то как обычно, разбиваем ее на бесконечно малые площади и для каждой из них вычисляем dJ_x. Просуммировав их, найдем осевой момент инерции всей фигуры:

(1.11)

Аналогично вводится осевой момент инерции относительно оси у:

(1.12)

Из (1.11), (1.12) видно, что осевые моменты инерции никогда не равны нулю и не бывают меньше нуля, они всегда положительны.