20.5.2. Вынужденные колебания

рис.20.10

Рассмотрим случай, когда к грузу приложена внешняя сила , переменная во времени. Исследуем наиболее опасный случай, когда она является периодической:

. (20.13)

Коэффициент характеризует то, насколько часто меняется направление воздействия силы.

Запишем уравнение равновесия верхней части стержня

.

Подставляя (20.11), (20.12), (20.13), получим:

.

Отсюда получаем уравнение, которое называется уравнением вынужденных колебаний:

. (20.14)

Ищем решение в виде:

.

Тогда

Подставляя в (20.14), находим:

,

.

Чтобы это уравнение выполнялось в любое время, скобки должны быть равны нулю. Отсюда получаем:

Из первого уравнения находим:

.

Выводы: как видно из выражения для B, если собственная частота колебания стержня будет приближаться по величине к частоте изменения внешней силы, тоВ становится неограниченно большим, следовательно, удлинение становится тоже неограниченно большим.

Определение: это явление называется резонансом.

Способы борьбы с резонансом

Первый способ. Для обеспечения неравенства можно изменить размеры стержня так, чтобысильно отличалось от. Это можно сделать, изменив или длину, или площадь поперечного сечения.

Второй способ. Из технологических или других соображений заказчиком может не допускаться изменение геометрических характеристик сооружения. Тогда используется другой способ - установка демпферов. Демпфер – это конструкция, гасящая колебания, например, цилиндр, наполненный жидкостью и с поршнем внутри него.

рис.20.11

20.5.3 Вынужденные колебания стержня с демпфером

Для тел, которые двигаются в жидкости, Аристотелем был открыт закон, гласящий: чем больше сила, приложенная к телу, тем больше скорость его движения в жидкости.

Для нашего случая схема установки демпферов представлена на левом рисунке 20.12.

Сделаем сечение I-I и рассмотрим верхнюю часть нашего стержня.

рис.20.12

Выразим через перемещение груза. Считаем абсолютно жесткими стержни, соединяющие демпфер с грузом и основанием. Тогда перемещение поршня совпадает с перемещением груза.

Согласно закону движения тела в вязкой жидкости:

. (20.15)

где - коэффициент вязкости. Отсюда:

. (20.16)

Запишем уравнение равновесия верхней части нашего стержня:

(20.17)

Решение ищем в виде:

.

Подставляя в (20.17), получим:

Собирая множители при иполучим:

.

Чтобы уравнение удовлетворялось в любой момент времени t, квадратные скобки должны быть равны 0:

Выразим С из 2-го уравнения:

. (20.18)

Подставляя его в первое уравнение, получим:

,

.

Из выражения (20.18) находим С:

Выводы из решения: Как видно, в знаменателе стоит сумма квадратов двух выражений, следовательно, знаменатель никогда не будет равен 0, таким образом, явления резонанса никогда не будет.

Однако при , если вязкостьдемпфера мала, то коэффициентC будет очень большой. Поэтому для того, чтобы перемещения были малы, вязкость демпфера должна быть достаточно велика.

Примечание: на сегодня масляные демпферы требуют больших затрат по обслуживанию, поэтому ведутся исследования по отысканию податливых конструкционных материалов, которые обладали бы вязкими свойствами, достаточными для демпфирования. Такие свойства материалов называются внутренним трением, им обладают практически все материалы, но в разной степени. Вязкие свойства проявляются в них ярче при высоких температурах.