15.2. Определение положения нейтральной линии (оси х) в сечении

Используем тот факт, что при изгибе нет сил растяжения балки, т. е. . Отсюда получим с учетом (15.1):

(15.9)

Согласно определения:- это статический момент сечения.

Поскольку , то из (15.9), вытекает, что. Нотогда, когда осьпроходит через центр тяжести.

Таким образом, нейтральная линия HR (ось х) проходит через центр тяжести сечения.

15.3 Момент сопротивления

Как видно из формулы (15.8), наибольшее по модулю значение достигается при. Тогда

(15.10)

В таблице сортамента изадаются для каждого номера. Для облегчения расчетов там же даётся вычисленное соотношение. Оно называется«моментом сопротивления» и обозначается буквой :

(15.11)

Поэтому: (15.12)

Примечание: для стальных конструкций, а также изделий из некоторых других пластичных материалов, допускаемые напряжения на растяжение и сжатие обычно одинаковы и обозначаются:

.

Для стали: .

Поэтому условие прочности для стальных балок можно записать в виде:

.

Однако для материалов типа дерево, бетон, камень, чугун и т.п. нужно отдельно вычислять максимальное растягивающее и максимальное сжимающее напряжения. Поэтому пользоваться моментом сопротивления во всех случаях уже нельзя. Например, при расчете на прочность чугунного бруса с сечением в виде швеллера (рис.15.5, 15.6.) большое значение имеет то, как расположены полки.

рис.15.5 рис. 15.6

15.4 Ошибка Галилея

Поскольку часто и при растяжении, и при изгибе разрушение происходит одинаково (разделением на 2 части по вертикальной трещине), то он считал, что напряжения распределены по сечению равномерно (рис. 15.7)

рис. 15.7

рис. 15.8

Однако согласно формуле (15.8) они распределены неравномерно (рис. 15.8), по линейному закону.

15.5 Касательные напряжения в балке

Впервые формулу для τ_zy вывел Журавский Д. И. в 1855 году.

Рассмотрим поперечный изгиб (рис. 15.9, как и ранее для удобства записи индексы для напряжений σ_z , τ_zy в дальнейшем будем опускать).

рис. 15.9 рис. 15.10

Вырежем тонкий диск шириной ds. Из него еще раз вырежем часть диска с площадью сечения А^отс = BCDK (рис. 15.9, 15.10).

Верхняя часть диска воздействует на нижнюю часть касательными напряжениями (рис. 15.10).

Найдем это из уравнения равновесия дискаBCDK. Запишем уравнение:

(15.13)

Поскольку бесконечно мал, то можно считать, что на верхней площадке диска. Тогда равнодействующая напряженийна этой верхней площадке будет:

(15.14)

Теперь подсчитаем силы, которые действуют в направлении оси z на переднюю и заднюю площадки нашего усеченного диска. На них действуют нормальные напряжения. На заднюю действуют (рис.15.10). На переднюю действуют нормальные напряжения, которые мало отличаются от . Как обычно эту фразу записываем так: на переднюю площадку действуют. Так же, как обычно площадьBCDK разбиваем на малые площади и находим силы, которые на них действуют. Это будут. Суммируя эти силы получим, что на площадьBCDK спереди действует сила

(15.15)

На такую же площадь нашего диска, но сзади действует сила:

(15.16)

Уравнение (15.13) примет вид:

.

Подставляя сюда соотношения (15.14)-(15.16) получим:

Отсюда:

Деля на ВСds получим:

(15.17)

По формуле Навье (15.8) имеем

Отсюда:

(15.18)

Согласно уравнению равновесия (3.2) элемента балки имеем:

(15.19)

Таким образом:

Обозначая ВС через b полученную формулу Журавского запишем в виде:

,(15.20)

Перечислим использованные обозначения.

- поперечная сила;

- момент инерции всего сечения;

b - ширина сечения на уровне того микроэлемента, в котором вычисляется (если фигура не прямоугольник, то ширинаb будет разная на разных уровнях рассматриваемого микроэлемента);

- статический момент отсеченной площади А^отс - части площади сечения, которая лежит ниже рассматриваемого малого элемента (т.е. фигуры BCDK), , в котором вычисляется ;

(у_ц.т.)^отс - координата центра тяжести отсеченной площади BCDK.