- •Казанский государственный архитектурно-строительный
- •Введение
- •Геометрические характеристики сечений
- •Статический момент фигуры
- •1.2. Моменты второго порядка
- •Осевой момент инерции
- •Центробежный момент площади
- •Свойства симметричных фигур
- •Геометрический и механический смысл моментов
- •1.2.5. Формулы для вычисления моментов инерции канонических фигур
- •Связь моментов относительно повернутых осей
- •Главные оси и главные моменты
- •Основные свойства главных осей:
- •Вычисление
- •2.2. Усилие растяжения (сжатия)
- •2.3. Метод сечений
- •2.4. Нормальное напряжение
- •2.5. Закон равномерного распределения нормального напряжения при растяжении (сжатии)
- •2.6. Предел прочности
- •2.7. Условие прочности
- •3.Внутренние силовые факторы (всф)
- •3.1. Случай воздействия внешних сил в одной плоскости
- •3.2. Основные соотношения между погонной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx
- •Отсюда вытекает соотношение, называемое первым уравнением равновесия элемента балки
- •4.Эпюры всф
- •5. Правила контроля построения эпюр
- •6. Общий случай напряженного состояния
- •6.1.Нормальные и касательные напряжения
- •6.2. Закон парности касательных напряжений
- •7. Деформации
- •8. Основные предположения и законы, используемые в сопротивлении материалов
- •8.1. Основные предположения, используемые в сопротивлении материалов
- •8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов
- •При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.
- •9. Примеры использования законов механики для расчета строительных сооружений
- •9.1. Расчет статически неопределимых систем
- •9.1.1. Статически неопределимая железобетонная колонна
- •9.1.2 Температурные напряжения
- •9.1.3. Монтажные напряжения
- •9.1.4. Расчет колонны по теории предельного равновесия
- •9.2. Особенности температурных и монтажных напряжений
- •9.2.1. Независимость температурных напряжений от размеров тела
- •9.2.2. Независимость монтажных напряжений от размеров тела
- •9.2.3. О температурных и монтажных напряжениях в статически определимых системах
- •9.3. Независимость предельной нагрузки от самоуравновешенных начальных напряжений
- •9.4. Некоторые особенности деформирования стержней при растяжении и сжатии с учетом силы тяжести
- •9.5. Расчет элементов конструкций с трещинами
- •Порядок расчета тел с трещинами
- •9.6. Расчет конструкций на долговечность
- •9.6.1. Долговечность железобетонной колонны при наличии ползучести бетона
- •9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов
- •9.7 Теория накопления микроповреждений
- •10. Расчет стержней и стерневых систем на жесткость
- •Составные стержни
- •Стержневые системы
- •10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции
- •10.2. Формула Мора для стержневых систем
- •11. Закономерности разрушения материала
- •11.1. Закономерности сложного напряженного состояния
- •11.2. Зависимость иот касательных напряжений
- •11.3. Главные напряжения
- •Вычисление
- •11.4. Виды разрушений материалов
- •11.5.Теории кратковременной прочности
- •11.5.1.Первая теория прочности
- •11.5.2.Вторая теория прочности
- •11.5.3.Третья теория прочности (теория максимальных касательных напряжений)
- •11.5.4.Четвертая теория (энергетическая)
- •11.5.5. Пятая теория – критерий Мора
- •12. Краткое изложение теорий прочности в задачах сопротивления материалов
- •13. Расчет цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего давления
- •14. Усталостное разрушение (циклическая прочность)
- •14.1. Расчет сооружений при циклическом нагружении с помощью диграммы Вёлера
- •14.2. Расчет сооружений при циклическом нагружении по теории развивающихся трещин
- •15. Изгиб балок
- •15.1. Нормальные напряжения. Формула Навье
- •15.2. Определение положения нейтральной линии (оси х) в сечении
- •15.3 Момент сопротивления
- •15.4 Ошибка Галилея
- •15.5 Касательные напряжения в балке
- •15.6. Касательные напряжения в полке двутавра
- •15.7. Анализ формул для напряжений
- •15.8. Эффект Эмерсона
- •15.9. Парадоксы формулы Журавского
- •15.10. О максимальных касательных напряжениях (τzy )max
- •15.11. Расчеты балки на прочность
- •1. Разрушение изломом
- •2.Разрушение срезом (расслоение).
- •3. Расчет балки по главным напряжениям.
- •4. Расчет по III и IV теориям прочности.
- •16. Расчет балки на жесткость
- •16.1. Формула Мора для вычисления прогиба
- •16.1.1 Методы вычисления интегралов. Формулы трапеций и Симпсона
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •. Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •16.2.1 Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •16.2.2 Правила Клебша
- •16.2.3 Условия для определения с и d
- •Пример вычисления прогиба
- •16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера
- •16.4. Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании
- •16.5. Бесконечная балка на упругом основании
- •17. Потеря устойчивости
- •17.1 Формула Эйлера
- •17.2 Другие условия закрепления.
- •17.3 Предельная гибкость. Длинный стержень.
- •17.4 Формула Ясинского.
- •17.5 Продольный изгиб
- •18. Кручение валов
- •18.1. Кручение круглых валов
- •18.2. Напряжения в сечениях вала
- •18.3. Расчет вала на жесткость
- •18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней
- •18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля
- •18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля
- •18.7. Кручение стержней открытого профиля
- •19. Сложная деформация
- •19.1. Эпюры внутренних силовых факторов (всф)
- •19.2. Растяжение с изгибом
- •19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом
- •19.4 Косой изгиб
- •19.5. Проверка прочности круглых стержней при кручении с изгибом
- •19.6 Внецентренное сжатие. Ядро сечения
- •19.7 Построение ядра сечения
- •20. Динамические задачи
- •20.1. Удар
- •20.2 Область применения формулы для коэффициента динамичности
- •Выражение коэффициента динамичности через скорость ударяющего тела
- •20.4. Принцип Даламбера
- •20.5. Колебания упругих стержней
- •20.5.1. Свободные колебания
- •20.5.2. Вынужденные колебания
- •Способы борьбы с резонансом
- •20.5.3 Вынужденные колебания стержня с демпфером
- •21. Теория предельного равновесия и её использование при расчете конструкций
- •21.1. Задача изгиба балки Предельный момент.
- •21.2. Применение теории предельного равновесия для расчета
- •Литература
- •Содержание
8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов
Соотношения статики. Их записывают в виде следующих уравнений равновесия.
Закон Гука (1678 год): чем больше сила, тем больше деформация, причем, прямо пропорционально силе. Физически это означает, что все тела это пружины, но с большой жесткостью. При простом растяжении бруса продольной силой N=F этот закон можно записать в виде:
Здесь продольная сила,l - длина бруса, А - площадь его поперечного сечения, Е - коэффициент упругости первого рода (модуль Юнга).
С учетом формул для напряжений и деформаций, закон Гука записывают следующим образом: .
Аналогичная связь наблюдается в экспериментах и между касательными напряжениями и углом сдвига:
.
G называют модулем сдвига, реже – модулем упругости второго рода. Как и любой закон, имеет предел применимости и закон Гука. Напряжение, до которого справедлив закон Гука, называетсяпределом пропорциональности (это важнейшая характеристика в сопромате).
Изобразим зависимость от графически (рис.8.1). Эта картина называется диаграммой растяжения. После точки В (т.е. при ) эта зависимость перестает быть прямолинейной.
При после разгрузки в теле появляются остаточные деформации, поэтомуназываетсяпределом упругости.
При достижении напряжением величины σ = σт многие металлы начинают проявлять свойство, которое называется текучестью. Это означает, что даже при постоянной нагрузке материал продолжает деформироваться (то есть ведет себя как жидкость). Графически это означает, что диаграмма параллельна абсциссе (участок DL). Напряжение σт, при котором материал течет, называется пределом текучести.
Рис.8.1
Некоторые материалы (Ст.3 - строительная сталь) после непродолжительного течения снова начинают сопротивляться. Сопротивление материала продолжается до некоторого максимального значения σпр, в дальнейшем начинается постепенное разрушение. Величина σпр - называется пределом прочности (синоним для стали: временное сопротивление, для бетона – кубиковая или призменная прочность). Применяют также и следующие обозначения:
=Rb
Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментах между касательными напряжениями и сдвигами.
3) Закон Дюгамеля – Неймана (линейного температурного расширения):
При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.
Пусть имеется перепад температур. Тогда этот закон имеет вид:
Здесь α - коэффициент линейного температурного расширения, l - длина стержня, Δ l-его удлинение.
4) Закон ползучести.
Исследования показали, что все материалы сильно неоднородны в малом. Схематическое строение стали изображено на рис.8.2.
Рис.8.2.
Некоторые из составляющих обладают свойствами жидкости, поэтому многие материалы под нагрузкой с течением времени получает дополнительное удлинение (рис.8.3.) (металлы при высоких температурах, бетон, дерево, пластики – при обычных температурах). Это явление называетсяползучестью материала.
Рис.8.3.
Для жидкости справедлив закон: чем больше сила, тем больше скорость движения тела в жидкости. Если это соотношение линейно (т.е. сила пропорциональна скорости), то можно записать его в виде:
Если перейти к относительным силам и относительным удлинениям, то получим
Здесь индекс « cr » означает, что рассматривается та часть удлинения, которая вызвана ползучестью материала. Механическая характеристика называется коэффициентом вязкости.
Закон сохранения энергии.
Рассмотрим нагруженный брус
Рис.8.4.
Введем понятие перемещения точки, например,
- вертикальное перемещение точки В;
- горизонтальное смещение точки С.
Силы при этом совершают некоторую работуU. Учитывая, что силы начинают возрастать постепенно и предполагая, что возрастают они пропорционально перемещениям, получим:
.
Согласно закону сохранения: никакая работа не исчезает, она тратится на совершение другой работы или переходит в другую энергию (энергия – это работа, которую может совершить тело.).
Работа сил , тратится на преодоление сопротивления упругих сил, возникающих в нашем теле. Чтобы подсчитать эту работу учтем, что тело можно считать состоящим из малых упругих частиц. Рассмотрим одну из них:
Рис.8.5.
Со стороны соседних частиц на него действует напряжение . Равнодействующая напряжений будет
Под действием частица удлинится. Согласно определению относительное удлинение это удлинение на единицу длины. Тогда:
Вычислим работу dW, которую совершает сила dN (здесь также учитывается, что силы dN начинают возрастать постепенно и возрастают они пропорциональны перемещениям):
Для всего тела получим:
.
Работа W, которую совершило , называютэнергией упругой деформации.
Согласно закону сохранения энергии:
6) Принцип возможных перемещений.
Это один из вариантов записи закона сохранения энергии.
Пусть на брус действуют силы F1, F2, …. Они вызывают в теле перемещения точки и напряжения. Дадим телудополнительные малые возможные перемещения . В механике запись видаозначает фразу «возможное значение величиныа ». Эти возможные перемещения вызовут в теле дополнительные возможные деформации . Они приведут к появлению дополнительных внешних сил и напряжений, δ.
Вычислим работу внешних сил на дополнительных возможных малых перемещениях:
Рис.8.6.
Здесь - дополнительные перемещения тех точек, в которых приложены силыF1, F2, …
Рассмотрим снова малый элемент с поперечным сечением dA и длиной dz (см. рис.8.5. и 8.6.). Согласно определению дополнительное удлинение dz этого элемента вычисляется по формуле:
dz = dz.
Сила растяжения элемента будет:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Работа внутренних сил на дополнительных перемещениях вычисляется для малого элемента следующим образом:
dW = dN dz = dA dz = dV
Суммируя энергию деформации всех малых элементов получим полную энергию деформации:
Закон сохранения энергии W = U дает:
.
Это соотношение и называется принципом возможных перемещений (его называют также принципом виртуальных перемещений). Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют еще и касательные напряжения. Тогда можно получить, что к энергии деформации W добавится следующее слагаемое:
Здесь - касательное напряжение, -сдвиг малого элемента. Тогда принцип возможных перемещений примет вид:
В отличие от предыдущей формы записи закона сохранения энергии здесь нет предположения о том, что силы начинают возрастать постепенно, и возрастают они пропорционально перемещениям
7) Эффект Пуассона.
Рассмотрим картину удлинения образца:
Рис.8.7
Явление укорочения элемента тела поперек направления удлинения называется эффектом Пуассона.
Найдем продольную относительную деформацию.
Поперечная относительная деформация будет:
Коэффициентом Пуассона называется величина:
Для изотропных материалов (сталь, чугун, бетон) коэффициент Пуассона
Это означает, что в поперечном направлении деформация меньше продольной.
Примечание: современные технологии могут создать композиционные материалы, у которых коэффициент Пуассон >1, то есть поперечная деформация будет больше, чем продольная. Например, это имеет место для материала, армированного жесткими волокнами под малым углом <<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине, т.е. чем меньше, тем больше коэффициент Пуассона.
Рис.8.8. Рис.8.9
Еще более удивительным является материал, приведенный на (рис.8.9.), причем для такого армирования имеет место парадоксальный результат – продольное удлинение ведет к увеличению размеров тела и в поперечном направлении.
8) Обобщенный закон Гука.
Рассмотрим элемент, который растягивается в продольном и поперечном направлениях. Найдем деформацию, возникающую в этих направлениях.
Вычислим деформацию , возникающую от действия:
Рассмотрим деформацию от действия , которая возникает в результате эффекта Пуассона:
Общая деформация будет:
Если действует и , то добавиться еще одно укорочение в направлении осиx .
Следовательно:
Аналогично:
Эти соотношения называются обобщенным законом Гука.
Интересно, что при записи закона Гука делается предположение о независимости деформаций удлинения от деформаций сдвига (о независимости от касательных напряжений, что одно и то же) и наоборот. Эксперименты хорошо подтверждают эти предположения. Забегая вперед, отметим, что прочность напротив сильно зависит от сочетания касательных и нормальных напряжений.
Примечание: Приведенные выше законы и предположения подтверждаются многочисленными прямыми и косвенными экспериментами, но, как и все другие законы, имеют ограниченную область применимости.