17.1 Формула Эйлера

Впервые формулу для вычисления вывел Л. Эйлер.

рис.17.3

Рассмотрим балку, потерявшую устойчивость, т.е. (см. рис.17.3)

Изгиб здесь имеет место под действием момента , гдеv – прогиб. Для отыскания используем уравнение изогнутой оси балки:

(17.1)

Получили дифференциальное уравнение для .

Обозначим

.

Тогда

(17.2)

Решение этого уравнения можно записать в виде:

(17.3)

т.к. легко проверить, что слева в (17.2) получиться то же самое, что и справа.

Константы В и С отыскиваем из условий закрепления:

(1): на левом краю

(2): на правом краю

Это дает:

(1): на левом краю

(2): на правом краю

Отсюда

(1):

(2):

При , значит прогиба нет, т.е. нет потери устойчивости. Поскольку это противоречит исходному предположению, то рассмотрим уравнение

Оно имеет следующие решения:

, (17.4)

где

Рассмотрим решения (17.4).

1) - это решение не подходит, т.к. стержень не изогнется без нагрузки.

2)

3) ,

Второе решение дает: (см. рис. 17.4)

Третье решение дает: (см. рис. 17.5)

Рис. 17.4 Рис. 17.5

Ясно, что при уже произойдет изгиб, и дальнейшее повышение нагрузки невозможно, т.е. до величинынагрузкаР увеличиться не может. Аналогично и для других решений (17.4). Таким образом, получим что:

(17.5)

(17.6)

Мы рассмотрели изгиб в вертикальной плоскости, аналогично можно рассмотреть изгиб в горизонтальной плоскости, тогда получим:

(17.7)

Очевидно, что изгиб произойдет в той плоскости, которая требует меньшее значение . Видно, чтов (17.6) и (17.7) отличаются только моментом инерции. Таким образом, нужно взять тот случай, в котором момент инерции меньше:

(17.8)

Известно, что момент инерции достигает наименьшего значения относительно одной из главных центральных осей. Следовательно, для вычисления необходимо найти главные центральные оси и главные моменты, а затем выбрать из них наименьшее.

Важные примечания.

1. Здесь предполагалось, что в обеих плоскостях опоры - шарнирные.

2. При выводе формулы предполагалось, что стержень упругий и соблюдается закон Гука, поскольку уравнение изогнутой оси балки получено при условии, что стержень линейно упругий. Таким образом, формула верна только тогда, когда справедлив закон Гука.

Рис. 17.6

Таким образом, формула Эйлера справедлива только тогда, когда:

(17.9)

3).. Вывод формулы Эйлера можно провести и из других соображений, а именно из закона сохранения энергии, полагая что , где

,

17.2 Другие условия закрепления.

Рассмотрим случай консольной балки:

Рис. 17.7

Будем пользоваться геометрической аналогией. Эта задача аналогична приведенной ниже:

Рис. 17.8

Правая её половина точно такая же, как рассматриваемая балка, следовательно:

Рассмотрим теперь случай защемления с двух концов:

Рис. 17.9

Здесь только половина балки, а именно её серединная часть изгибается как шарнирная:

Рис. 17.10

Таким образом:

Введем параметр n – число волн, которые образуются при продольном изгибе балки, тогда получим:

Пользуясь этой аналогией, получим еще одну (приближенную) формулу для случая, изображенного на рис. 17.11:

Рис. 17.11

В расчетной практике вместо n используют - коэффициент приведенной длины :

Запишем формулу Эйлера с помощью нового обозначения:

(17.10)

Кроме того, в теории устойчивости вводят параметр:

(17.11)

Здесь - безразмерная величина, являющаясяотносительной длиной, называется гибкостью.

Для корня вводят специальное обозначение:

(17.12)

Аналогично,

(17.13)

Величины - называются радиусами инерции сечения.

В новых обозначениях получим:

(17.14)

Это наиболее употребительный вид формулы Эйлера.