19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом

Из формулы видно, что в разных точках с разными напряжениеразное. При расчете на прочность необходимо знать(максимальное сжимающее напряжение) и(максимальное растягивающее напряжение).

Рассуждаем от противного. Найдем сначала линию, на которой напряжение минимально, то есть .

Подставим =0 в (19.1):

. (19.2)

В данном сечении - это постоянные, поэтому уравнение (19.2) – это уравнение прямой в плоскостих,у (см.рис.19.6).

Рис.19.6

Напомним определение: прямая, на которой , называетсянейтральной.

Ясно, что вблизи нейтральной линии напряжение не нуль, но очень мало. И чем дальше от этой линии, тем напряжение больше, следовательно, ,возникают в точках, наиболее удаленных от этой нейтральной линии.

Определение: точки, в которых илиназываютсяопасными точками.

Примечание. Из (19.1) видно, что в разных сечениях комбинация может давать разные комбинациии, то есть в одном сечении максимальным будет, а в другом. Более того, нельзя заранее знать, в каком сеченииилибудут наибольшими.

Поэтому при растяжении с изгибом опасными являются все те сечения, в которых или, илиэкстремальны.

19.4 Косой изгиб

Это случай сложной деформации, при котором есть только изгиб в двух плоскостях.

В этом случае в формуле (19.1), полагаем .

Тогда: .

Уравнение нейтральной линии получает вид:

.

Видно, что нейтральная линия проходит через центр тяжести.

Особенностью косого изгиба и растяжения с изгибом в общем случае является то, что нейтральная линия (штриховая прямая на рис.19.7) не перпендикулярна равнодействующей F поперечных сил F_х , F_у .

Рис.19.7

19.5. Проверка прочности круглых стержней при кручении с изгибом

Будем рассматривать только круглые стержни.

рис.19.8

Пусть стоит задача: проверки прочности в опасном сечении. Исследуем малый элемент в опасном сечении (см.рис.19.8)

рис.19.9

Особенность ситуации в том, что на элемент действуют два вида напряжений одновременно, поэтому условие прочности вида ,, не обеспечивают прочность, поскольку они справедливы только при простом растяжении и при простом сдвиге. Так какидействуют одновременно, то в зависимости от материала, нужно применять различные теории прочности.

Для стали, в запас прочности, можно использовать III теорию:

(19.3)

Здесь вычисляется как обычно:

Для полого вала имеет вид:

(19.4)

Для отыскания для круглых стержней не обязательно находить опасную точку. Действительно, если найдена нейтральная линия, то мы можем принять её за ось.

рис.19.10

В этом случае опасной будет точка с координатами х = 0, у = R (рис.19.10). Изгибающий момент тогда вычисляется как геометрическая сумма и:

(19.5)

Поэтому по формуле Навье найдем:

, .

Если кроме кручения и изгиба имеется растяжение, то максимальное значение напряжения вычисляется по формуле:

(19.6)

19.6 Внецентренное сжатие. Ядро сечения

Рассмотрим три варианта нагружения колонны (рис.19.11).

1. сжатие силой по центру

2. сжатие силой, чуть сдвинутой от центра

3. сжатие по краю

В сечении получим распределения напряжений, приведенные на рис 19.11.

рис.19.11

Большинство строительных материалов плохо работают на растяжение (бетон, кирпич, камень, стекло) поэтому наличие зон растяжения требуется максимально уменьшить, а еще лучше - исключить.

Как видно из рисунка для этого силу нужно располагать как можно ближе к центру.

Определение 1:

Внецентренным сжатием или растяжением называется такая деформация стержня, которая происходит под действием продольной силы, приложенной не в центре тяжести сечения.

Определение 2:

Ядро сечения - это область, расположенная вокруг центра тяжести (рис.19.12), причем, такая, что если приложить продольную сжимающую силу в этой области, то нигде в стержне напряжение растяжения не возникнет, будет только сжатие.

рис.19.12 рис.19.13

Исследуем внецентренное сжатие (рис.19.13). Здесь -координаты точки приложения силы F. Тогда сила сжатия .

Из рисунка видно, что F создает моменты относительно осей x и y (причем, независимо от того на какой высоте находится сечения):

Тогда получим:

. (19.7)

Рассмотрим уравнение нейтральной линии, т.е. линии, где :

Деля на F, получим:

(19.8)

Таким образом, из (19.8) следует, что положение нейтральной линии, которое определяет растянутые и сжатые зоны, не зависит от величины силы F, а зависит только от точек её приложения, то есть от .