Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

При пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная норма замещения не изменяется.

Удовлетворяя большинству теоретических требований, эта функция сочетает в себе простую математическую запись и небольшое количество параметров, численные значения которых могут быть легко оценены.

В частности, после логарифмического преобразования функции Кобба-Дугласа ее параметры могут быть оценены линейным методом наименьших квадратов. Кроме того, эта функция может быть приведена к виду:

Y a1x1 ... anxn , где Y,x1, ,xn – темпы прироста.

Внепрерывном времени это равенство является точным, в дискретном – приближенным.

Вслучаях, когда требуется отразить воздействие научнотехнического прогресса на экономические процессы, часто используется производственная функция Кобба-Дугласа-Тинбергена, имеющая вид:

Производственная функция леонтьевского типа – производ-

ственная функция, в рамках которой отсутствует возможность замеще-

параметры.

Предельная норма замены между любыми двумя ресурсами для указанной функции равна бесконечности, а эластичность замещения – нулю.

Таким образом, в рамках леонтьевской функции предполагается, что ресурсоемкость производства по каждому ресурсу фиксирована и, следовательно, объем выпуска однозначно определяется количеством лимитирующего фактора.

Обобщенная производственная функция леонтьевского типа имеет вид

Y min 1 x1 , , n xn и обладает практически теми же свойствами, что и отмеченная выше.

Отметим некоторые предположения, используемые при применении производственных функций.

1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса, т.е.

F 0,x2, ,xn 0,

F x1,0, ,xn 0,

F x1,x2, ,0 0.

Это означает, что каждый из ресурсов необходим хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие не может быть компенсировано другими ресурсами.

2. При увеличении затрат производства выпуск продукции не уменьшается: F x F( x ) при x x . Если F(x) дифференцируема, то

последнее условие можно записать в виде: F 0, i 1, ,n .

xi

3. По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная производительность использования этого ресурса не возрастает. Для дважды дифференцируемых производ-

2F

ственных функций можно записать 0, i 1,2, ,n.

xi2

Это условие означает, что рост вооруженности средствами производства приводит к росту выпуска продукции, но темп роста выпуска

134 Глава 4

продукции все время падает. В случае экстенсивного роста производства, т.е. роста только за счет количества ресурсов без повышения эффективности их использования, последнее соотношение имеет разумную интерпретацию: поскольку каждая следующая количественно возрастающая единица производственного ресурса должна соединяться со все меньшим приходящимся на нее количеством других ресурсов, эффективность использования этого ресурса уменьшается.

Часто вместо третьего условия формулируется более сильное требование: F(x) – вогнутая (выпуклая вверх) функция, т.е. для любых двух неотрицательных векторов ( x , x ) и любого числа a 0,1 справедливо неравенство

F ax (1 a )x aF x (1 a )F x .

Если F(x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости эквивалентно требованию неположительной определенности

Матрица H называется матрицей Гессе (или гессианом).

4. Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства с точки зрения изменения выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов, которое математически выражается в умножении всех компонент вектора x на положительный скаляр t. Принято говорить, что скалярная функция F(x) является однородной функцией степени , если для любого вектора x и любого скаляра t она удовлетворяет соотношению

F tx t F x .

Математически данное предположение состоит в требовании однородности производственной функции. Если 1, то говорят, что производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если = 1 – постоянной отдачей (наиболее часто встречающийся случай), а при 1 – убывающей отдачей.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 4

1.Чем можно измерить степень тесноты связи между показателями?

2.Что такое функциональная, стохастическая и статистическая связь между показателями?

3.Поясните свойства коэффициента корреляции и его смысл.

4.Как выбирается регрессионная модель и определяются ее неизвестные коэффициенты?

5.Назовите и охарактеризуйте задачи, решаемые корреляционным и регрессионным анализами. Приведите примеры.

6.Поясните методику использования метода наименьших квадратов.

7.Поясните смысл интервальных оценок экономических показателей.

8.Как проверяются гипотезы по статистическим данным?

9.Что такое производственная функция?

10.Приведите примеры использования производственных функций.

11.Связь производственной функции с регрессионным анализом.

ЗАДАНИЕ К ГЛАВЕ 4

По имеющимся статистическим данным исследовать взаимосвязь между соответствующими величинами. Необходимо:

1.Вычислить основные числовые характеристики каждой исследуемой случайной величины (переменной): математические ожидания, дисперсии, средние квадратические отклонения.

2.Оценить степень тесноты связи между рассматриваемыми ве-

личинами.

3.Предполагая линейную связь между переменными получить соответствующие уравнения регрессии и построить их графики.

4.Вычислить ожидаемое (прогнозное) значение одной величины при значении другой, равном математическому ожиданию соответствующей величины плюс два ее средних квадратических отклонения.

5.Проанализировать полученные результаты.

Варианты заданий

1. Зависимость между затратами на маркетинг и месячной прибылью фирмы

138 Глава 4

12. Зависимость между экономической рентабельностью предприятия и затратами на восстановление основных производственных фондов

13. Взаимосвязь скорости движения автомобиля и расходом горючего на 100 км пути

14. Распределение предприятий по величине собственных и заемных средств

15. Распределение рабочих по стажу работы и месячной заработной плате

16. Зависимость между количеством внесенных удобрений и урожайностью

17. Распределение фирм по величине фондов и себестоимости продукции

18. Зависимость между месячной прибылью фирмы и количеством нарушений технологического процесса производства

19. Зависимость между месячными затратами на рекламу и доходом фирмы

20. Распределение сотрудников фирмы по стажу работы и выполненному за год объему работ

21. Распределение магазинов по торговой площади и ежедневной выручкой

22. Зависимость между рентабельностью собственных средств предприятия и средним износом оборудования

23. Простои оборудования и себестоимость продукции предприятия за месяц