Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

Задача 2. Планируется деятельность двух предприятий на 4 года. Имеется начальное количество ресурсов S0. Средства x, вложенные в 1-е предприятие, дают в конце года прибыль f1(x). Вложенные средства x в течение года уменьшаются и возвращаются в конце года в размере q1(x). Аналогично для второго предприятия функция прибыли f2(y), а функция возврата q2(y). В конце года все возвращаемые средства заново перераспределяются между двумя предприятиями, прибыль в производство не вкладывается и новые средства не поступают. Требуется распределить имеющиеся средства S0 между двумя предприятиями на 4 года так, чтобы суммарная прибыль за это время была максимальной. Величины f1(x), q1(x), f2(y), q2(y) и S0 даны в таблице вариантов.

Варианты заданий.

можно осуществлять двумя технологическими способами. При первом

ГЛАВА 3. ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Одна из задач теории оптимальных решений – принятие решения в условиях неопределенности. Для этого разработаны специальные математические методы, некоторые из которых рассматриваются в теории игр. Теория игр принадлежит к наиболее молодым математическим дисциплинам. Здесь исследуются математические модели, интересы участников которых различны, причем игроки (участники) достигают своей цели различными путями. Столкновения противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации и привела к возникновению теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников конфликта.

Одна из характерных черт экономического явления состоит в множественности, многосторонности интересов и в наличии сторон, выражающих эти интересы. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой – продавец (ситуация монополия-монопсония), когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара (ситуация олигополии, в том числе дуополии, если число таких участников равно двум). Более сложные ситуации подобного рода возникают, если имеются объединения или коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует разнообразные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т.п.). Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных "стихийных сил" (случай так называемых "игр с Природой").

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех

остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его математическую модель, которую называют игрой.

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

Взависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. Задачи теории оптимизации можно рассматривать как теорию игр с одним игроком. Возможны также игры с бесконечным числом игроков.

Согласно другому принципу классификации – по количеству стратегий – различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий. Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий – так, в ситуации Продавец-Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.

Третий способ классификации игр – по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.

Взависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.

Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.

Неопределенность результата игры вызывается различными причинами, которые можно разбить на три группы.

1.Особенности правил игры вызывают такое разнообразие в ее развитии, что предсказать результат игры заранее невозможно. Источники неопределенности такого вида (как и сами игры) называются комбинаторными (шахматы, карты и др.). Однако комбинаторная сложность игр носит исторически преходящий характер благодаря использованию соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Для целого ряда комбинаторных игр найдены выигрышные комбинации путем решения логических задач ограниченного объема.

2.Другим источником неопределенности является влияние случайных факторов. Игры, в которых исход оказывается неопределенным исключительно в результате случайных причин, называются азартными (игры в кости, рулетка).

3.Третий источник неопределенности состоит в отсутствии информации о действиях противника, о его стратегии. Игры такого рода называются стратегическими.

3.2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИГРОВЫХ ЗАДАЧ

Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей. Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения данного игрока, отклонение от которой может лишь уменьшить его выигрыш.

Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.

Количественная оценка результатов игры называется плате-

жом.

Игра называется парной, если в ней участвуют только две сто-

роны.

Парные игры с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю) и рассматриваются ниже.

Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стра-

тегией игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).

Пусть имеется два игрока, один из которых может выбрать i-ю

стратегию из т своих возможных стратегий (i 1,m), а второй, не зная выбора первого, выбирает j-ю стратегию из n своих возможных страте-

гий ( j 1,n). В результате первый игрок выигрывает величину сij , а

второй проигрывает эту величину. Из чисел сij составим матрицу

Строки матрицы C соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго. Эти стратегии называются чистыми.

Матрица C называется платежной матрицей игры.

Игру, определяемую матрицей C, имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности m n.

Тройка G = <A, B, C> называется антогонистической игрой,

где А и В – множества стратегий первого и второго игроков;

С – функция от переменных а А и b B (платежная матрица).

максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) – максиминной.

минимаксом, а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) – ми-

нимаксной.

Нижняя цена игры всегда не превосходит верхнюю цену игры

( ).

Если , то число называется ценой игры.

Игра, для которой , называется игрой с седловой точ-

кой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными.

Пример 3.1. Швейное предприятие планирует к массовому выпуску три новые модели одежды. Спрос на эти модели не может быть точно определен. Однако можно предположить, что его величина характеризуется четырьмя возможными состояниями. С учетом этих состояний анализируются три возможных варианта (по объему) выпуска моделей (А1, А2, А3). Каждый из этих вариантов требует своих затрат и обеспечивает в конечном счете различный эффект. Прибыль (тыс. руб.), ко-

торую получает предприятие при различных вариантах выпуска моделей и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей

Требуется найти вариант выпуска моделей одежды, обеспечивающий среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

Решение. Прежде всего проверим, имеет ли исходная матрица седловую точку. Для этого находим минимальные элементы в ее строках (10; 16; 11) и максимальные – в столбцах (17; 16; 24, 22). Максимальным среди минимальных элементов строк является число 16, а минимальным среди максимальных элементов столбцов – число 16 . Та-

ким образом, 16. Число 16 является ценой игры.

Игра имеет седловую точку, соответствующую второму варианту выпуска модели одежды. Объем выпуска модели, соответствующей данному варианту, обеспечивает прибыль в 16 тыс. руб. при любом состоянии спроса.

Если игра, заданная платежной матрицей, не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используются смешанные стра-

тегии.

Вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока. Сумма компонент указанного вектора равна единице, а сами компоненты не отрицательны.

Смешанную стратегию первого игрока обозначим как вектор A a1,a2 ,...,am , а второго игрока – как вектор B b1,b2,...,bn , где ai иbj – вероятности соответствующих стратегий

мальная стратегия второго игрока, то число cija*i b*j является j 1i 1

ценой игры.

Определение оптимальных стратегий и цены игры и составляет процесс нахождения решения игры.

Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.