Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

192 Глава 6

ницу конечной продукции (а не полного выпуска). В связи с этим эле-

менты Sij называют коэффициентами полных затрат, а матрица S -

матрицей коэффициентов полных затрат.

Коэффициенты полных затрат Sij всегда не меньше, а могут

быть и существенно больше соответствующих коэффициентов прямых затрат aij , поскольку коэффициент Sij указывает не только непосредст-

венные поставки продукции i-го объекта j-му объекту, но и поставки продукции i-го объекта другим объектам для того, чтобы эти объекты в свою очередь могли поставить j-му объекту требуемое количество их продукции.

6.2. УЧЕТ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВАИ ПОСТАВОК ИЗ ДРУГИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для функционирования отдельных экономических объектов необходимы не только продукция других экономических объектов этой системы, но и такие факторы производства, как производственные фонды (оборудование, производственные площади и т.д.), природные ресурсы (вода, газ, лес, полезные ископаемые и т.д.), труд. Кроме этого, экономическая система может получать продукцию от других экономических систем.

Ограниченность факторов производства и поставок из других экономических систем является причиной того, что реально не всякий вектор конечной продукции может быть произведен данной экономической системой. Поэтому при планировании необходимо не только определять потоки продукции между отдельными объектами системы, но и найти потребность системы в факторах производства и поставок извне. При этом допустимым для экономической системы является такой план,

при котором потребности в факторах производства и импорте не превышают соответствующих ограничений.

Рассмотрим способ определения потребности системы в факторах производства и поставок извне. При этом как факторы производства, так и импортируемые продукты будем называть факторами.

Пусть имеем m факторов. Потребность системы в факторах на планируемый период будем обозначать вектором

Z z1,z2 , ,zk , ,zm ,

где zk - потребность в k -м факторе.

Потребность всех объектов в факторах может быть охарактеризована матрицей коэффициентов прямых затрат факторов:

bm1, bm2 , ,bmn

Числа bkj называются коэффициентами прямых затрат фак-

торов. Коэффициент bkj указывает, какое количество k -го фактора не-

обходимо j-му объекту для того, чтобы этот объект мог произвести одну единицу продукции.

Если вектор полного выпуска продукции объектами системы есть X , то суммарная потребность системы в k -м факторе

Соотношение (6.8) позволяет определить суммарную потребность Z в факторах для любого вектора конечной потребности Y , а также установить экономический смысл матрицы BS . Для этого рассмот-

мог выпустить одну единицу конечной продукции. В связи с этим мат-

рицу BS называют матрицей коэффициентов полных затрат факторов.

Количество каждого фактора, которое может быть использовано системой, ограничено. Это значит, что известны m чисел

max max max

Z Z1 ,...,Zm , имеющих следующий смысл: план для данной экономической системы допустим, если требуется для его реализации

количество k -го фактора не большее Zmax для всех k 1,2, ,m . По-

k

этому экономическая система может выпустить только такой вектор ко-

нечной продукции Y , который удовлетворяет условию BSY Zmax . Пример 6.1. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из

двух объектов. За предшествующий период исполнение баланса характеризуется данными, представленными в табл.6.2. При этом в системе использованы следующие факторы: труд (в человеко-часах) и капиталовложения (в тысячах рублей).

Требуется составить матрицы прямых и полных затрат экономи-

Аналогично определяем коэффициенты прямых затрат факто-

ров, исходя из того, что коэффициент bkj прямых затрат k -го фактора для j -го объекта равен отношению затрат этого фактора объектом к

полному выпуску продукции этим объектом, взятым за прошедший период:

Далее вычисляем матрицу S .

Задавая значение вектора конечной продукции Y , по формулам (2.5) и (2.8) можем найти показатели плана: валовую продукцию и суммарную потребность системы в факторах.

480

Пусть, например, задан вектор Y .

170

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта может быть достигнут при валовом выпуске объектов X1 1000 и X2 800 при суммарных затратах труда Z1 660 и при

затратах капиталовложений Z2 3100.

6.3.УКРУПНЕНИЕ БАЛАНСОВОЙ ТАБЛИЦЫ

Внародном хозяйстве вырабатывается большое число наименований различных видов и типов продукции. Учесть все их при построении балансовой модели производства часто невозможно из-за отсутствия данных, а также вследствие большого объема технической информации.

Иногда целесообразно проводить укрупнение (объединение) балансовой таблицы. При этом возможно объединение таких видов продукции, которые являются результатом последовательной переработки тех или иных видов сырья (например, железная руда - чугун - сталь -

прокат). Такое объединение называется вертикальным. Кроме того, возможно объединение продуктов, сходных по своему экономическому назначению, потребительским свойствам (различные виды топлива, зерна, химикатов и т.п.), именуемое горизонтальным объединением.

После объединения, например, двух объектов экономической системы m-го и m 1 -го коэффициент прямых затрат объединенного объекта

водства отдельных объектов в объеме объединенного объекта.

Для перехода от детальной таблицы к укрупненной пользуются матрицей агрегирования T , для которой номер строки i соответствует номеру укрупненного объекта, номер столбца j соответствует номеру исходного объекта: T aij m n ; aij 0,1 , m<n . Например,

110010

T 001000 .000101

Данная матрица агрегирования соответствует случаю, когда 1-й объединенный объект включает 1, 2 и 5-й исходные объекты; 2-й объединенный объект включает 3-й исходный объект; 3-й объединенный объекты включает 4-й и 6-й исходные объекты.

Процесс объединения в матричной форме может быть записан следующим образом:

единичных элементов значениями удельных весов продукции отдельных объектов в соответствующем укрупненном объекте.

Тогда на основании уравнения (2.4) и (2.9) будем иметь

~

Возникает проблема такого укрупнения, при котором вектор X

~

должен как можно меньше отличаться от вектора X .

6.4. СМЕШАННЫЕ БАЛАНСОВЫЕ ЗАДАЧИ

Конкретные особенности производства и имеющиеся данные приводят к различным дополнениям и видоизменениям общей схемы построения баланса и решения балансовых уравнений.

Иногда по ряду объектов задаются объемы производства этих объектов, а по ряду других - объемы конечного продукта, т.е. смешанный состав неизвестных в балансовой модели производства (табл.6.3).

Таблица 6.3

Блочно-матричный вид смешанной балансовой модели производства

Все виды продукции делятся две группы. В первой группе искомыми являются валовые выпуски X1 , заданные объемы конечного про-

дукта Y1; во второй группе искомыми являются Y2 и заданными X2 .

Запишем в блочно-матричном виде системы балансовых урав-

нений:

рым заданы конечные продукты, на производство продукции объектов, по которым заданы объемы производства;

A21 - матрица коэффициентов прямых затрат объектов, по кото-

рым заданы объемы производства, на производство продукции объектов, по которым заданы конечные продукты;

A22 - матрица коэффициентов прямых затрат объектов, по которым заданы объемы производства.

6.5. ДИНАМИЧЕСКАЯБАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотренная статистическая балансовая модель производства характеризует состояние экономики в данный момент и не учитывает динамику развития народного хозяйства. Получаемые средние уровни затрат не отражают многообразия возможных технологий, реализацию достижений технического прогресса. Поэтому на основе межотраслевого баланса нельзя решать задачи экономической динамики, т.е. определять оптимальные темпы и пропорции развития различных отраслей народного хозяйства. На частичное устранение недостатков статических балансовых моделей направлены динамические модели.

По характеру математической модели динамические балансы представляются в виде системы линейных дифференциальных или разностных уравнений.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель, позволяющую учитывать капиталовложения в различные объекты экономической системы, а также связь между общими объектами производства в различные периоды.

Обозначим количество продукции i - го объекта, затрачиваемое в данный период на капиталовложения в j -й объект, через Kij . Номер

периода обозначим индексом t .

Тогда основная балансовая система уравнений (6.3) преобразуется в систему

Обычно предполагают, что необходимые для объекта капиталовложения пропорциональны приросту продукции объекта, т.е.

Kijt dij Xtj Xtj 1 .

В результате уравнение (6.11) приводится к виду

зволяют выявить необходимую связь, существующую между периодами. Из системы (6.12), зная общие объемы производства по всем объектам в период t 1 и объемы потребления, можно найти объемы производства в период t .

Такого рода модели учитывают динамику развития экономической системы.

Пример 6.2. Завод состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. Известны (табл.6.4) расходные коэффициенты (прямые затраты) аij единиц продукции i-го цеха, используемые как “сырье” (“промежуточный продукт”) для выпуска единицы продукции j-го цеха, а также количество единиц уi продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).

Определить:

1)коэффициенты полных затрат;

2)валовой выпуск (план) для каждого цеха;

3)производственную программу цехов;

4)коэффициенты косвенных затрат.

Решение. Обозначим производственную программу завода через Х = (х1, х2, х3), где хi есть валовой выпуск продукции i-го цеха, а план выпуска товарной продукции - через Y = (у1, у2, у3). Кроме того, введем матрицу А = ||аij|| расходных коэффициентов, указанных в таблице.

Тогда производственные взаимосвязи завода могут быть представлены следующей системой трех уравнений:

хi - (ai1xi + ai2x2 + ai3x3) = yi ; (i = 1, 2, 3),

или в матричной форме

X – AX = Y.

Решение этого уравнения запишется через обратную матрицу в

виде

X = (E-A)-1Y,

где Е - единичная матрица третьего порядка.

Элементы обратной матрицы (Е - А)– 1 = ||sij|| представляют собой искомые коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат.

Выполнив необходимые расчеты, получим

Таким образом, например, для выпуска единицы продукции I, II и III цехов необходимо затратить продукции 1-го цеха соответственно

1,04; 0,21 и 0,03 единиц.

Для определения валового выпуска продукции цехов воспользуемся равенством

Коэффициенты косвенных затрат найдем как разность между sij и aij или в матричной форме

Пример 6.3. Дополнительно к данным примера 6.2 в следующей таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в че- ловеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1чел.-час.