Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

Решение находим методом Лагранжа. Приравняв нулю частные производные функции Лагранжа по переменным хi, получаем для всех i:

полнение которого эквивалентно равенству нулю частной производные функции Лагранжа по переменной . Умножив каждое i-ое условие наpi и просуммировав их по i, получим:

считывается как частное от деления полученной суммы денег на его цену.

В данном случае мы видим, что спрос растет при росте дохода с эластичностью, равной единице, и уменьшается с ростом цены с эластичностью, равной минус единице. Тем самым каждый товар в этой

модели является нормальным и ценным. Кроме того, спрос растет до бесконечности при бесконечном росте дохода - в этом смысле каждый товар является "предметом роскоши".

Для того чтобы описать более разнообразные формы поведения спроса на различные товары, модель должна включать другие, более сложные виды целевой функции предпочтения.

Например, при функции предпочтения

U x1,x2 x1ax2b a x1 b a b (где a,b - параметры) функция спроса имеет

pi bi

i 1

от цены на любой j-й товар.

Перекрестные функции спроса от цен характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость.

Если при росте цены на товар i, при снижении спроса на i-й товар, растет спрос на j-й товар - эти товары взаимозаменяемы (например, картофель - крупы; чай - кофе). Наоборот, если спрос на j-й товар также падает, - они взаимодополняемы.

Заметим, что реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены i-го блага: j -ое благо может заменять i-е в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя.

Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния. Практически компенсированное изменение цены изображается следующим образом (рис.10.2).

Пусть цена первого блага повысилась c p11 до p12 тогда бюджетная прямая из положения 1 перейдет в положение 2. Точка А на ли-

7. Каков необходимый размер компенсации?

Чтобы приобрести прежний оптимальный набор, потребителю необходимо дополнительно (7 - 2) 15 = 75 денежных единиц.

Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 75.

Пусть потребитель получает дополнительно количество денег М. Тогда при новых ценах его спрос на первое и второе блага будет равен:

должно равняться начальному U 45. Отсюда M 52,25 , что сущест-

венно меньше, чем 75.

Теперь решим задачу в более общем виде. Пусть по-прежнему U x1,x2 x1x2 max; цены благ равны p1 , и p2 , а доход D . Очевидно, что

битель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода обо-

Итак, спрос на первый товар в случае с компенсацией сократит-

ся в K раз (а не в К раз, как без нее), а спрос на второй товар в K раз вырастет. В случае роста цены второго товара ситуация будет полно-

j 1,.i 2

Индекс сотр означает, что перекрестная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода. Условие компенсации снимает "эффект дохода", оставляя лишь"эффект замены", что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценивать эти характеристики.

Блага i и j называются взаимозаменяемыми, если

Рассчитаем теперь эти частные производные для рассматриваемой задачи, когда p1 растет в К раз. В этом случае приращение

Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости благ в рассматриваемой задаче.

Уравнение Слуцкого

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е.Слуцким в 1915 году. Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса. Уравнение Слуцкого имеет вид:

pxij pxij сотр Dxi xj .

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель xj приводит их к одной размерности). Слева

записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении

уровня реального дохода. Для ценных товаров величина xi 0, т.е.

D

спрос растет при росте дохода. В этом случае, согласно уравнению

наличии компенсации, если падает - то в меньшей степени. Может ока-

заменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации.

Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j.

Из первых двух свойств функции полезности потребителя сле-

ний уровня функции полезности). Если оказывается, что xi 0 (спрос

pi

на товар растет при росте цены - такие товары называются товарами

Гиффина), то отсюда вытекает, что xi 0 - то есть это обязательно

D

малоценный товар.

Проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи потребительского выбора с функцией полезности

U x1,x2 x1x2 max.

Было получено:

В обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при i j) здесь выполнены.

Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахождения

няемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются значительно легче.

спроса по ценам и доходу.

Покажем, что если в задаче потребительского выбора всего два товара, то они обязательно являются взаимозаменяемыми. Для этого

компенсации падает. Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в которой обоих товаров меньше, чем в начальной.

U x1,x2 должно быть также меньше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному). Следовательно, спрос на второй товар

Пример 10.2. На основании данных о потреблении взаимозаменяемых и взаимодополняемых продуктов x1 и x2 в различном сочетании i, их цене P1 и P2 , полезности U и бюджете (доходах) потребителя D

построить кривую безразличия и определить оптимальный план потребления названных продуктов.

Исходные данные имеют вид:

Решение. В нашей задаче продукты х1 и х2 являются взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми, т.е. функция смешанная. Поэтому можно воспользоваться моделью неоклассической функции полезности,

которая имеет вид U x1b1 x2b2 , где b1 b2 1.

Чтобы убедиться в правильности предположения о форме связи, следует графически изобразить изучаемую зависимость в системе координат по данным о потреблении продуктов х1 и х2. По виду графика можно предположить, что зависимость между x1 и x2 имеет вид

Решение задачи по построению кривой безразличия заключается в определении параметров функции b1 и b2. Параметры кривой безразличия b1 и b2 отражают степень полезности каждого из продуктов x1 и x2.

Определив параметры b1 и b2, зная одну из переменных - количество потребления продукта x1, всегда можно определить вторую пере-

менную x2 так, чтобы обеспечить максимум полезности от потребления продуктов

Для определения коэффициентов A и B обычно применяют метод наименьших квадратов:

характерные для отдельного индивидуума.

На графике оптимальный план потребления соответствует точке касания бюджетной прямой и кривой безразличия.