Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

Равновесное количество сделок (предложений) S* 15,4 15.

Торговые операции становятся убыточными при количестве сделок S* 15.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 9

1.Как формируется равновесная цена рынка?

2.Приведите примеры функций предложения и спроса.

3.Поясните работу модели регулирования рынка через измене-

ние цен.

4. Поясните особенности использования модели Вальраса.

ЗАДАНИЕ ПО ГЛАВЕ 9

Построить модель Вальраса, определить количество сделок при которых торговые операции становятся убыточными. Заданы параметры функции спроса D и функции предложения S, начальная цена P0

(табл.9.3).

Варианты заданий приведены в табл.9.3.

ГЛАВА 10. МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА

10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть потребитель располагает доходом D, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Цены благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ. Математическая модель поведения потребителя в такой ситуации называется

моделью потребительского выбора [2, 9].

Потребитель решает статическую задачу, то есть в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможности делать или расходовать сбережения.

Рассмотрим модель с двумя видами благ. Такая модель удобна возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели.

Потребительский набор - это вектор (x1, x2), координата x1 которого равна количеству единиц первого блага, а координата x2 равна количеству единиц второго блага.

Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что-либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор A = (a1, a2), предпочтительнее набора B = (b1, b2), а набор B предпочтительнее набора C = (c1, c2), то набор A предпочтительнее набора C.

На множестве потребительских наборов (x1, x2) определена функция U(x1,x2) (называемая функцией полезности потребителя), зна-

чение которой на потребительском наборе (x1, x2) равно потребительской оценке индивидуума для этого набора.

Потребительскую оценку U(x1, x2) набора (x1, x2) принято называть уровнем (степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (x1, x2). Каждый по-

требитель имеет свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то U(A) > U(B).

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам.

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е. первые частные производные функции полезности по своим аргументам положительны:

Это свойство должно выполняться всегда.

Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов: U1 называется предельной полезностью первого продукта, U2 - предельной полезностью второго продукта.

2. Закон убывания предельной полезности: предельная полез-

ность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет. Математически это означает отрицательность вторых производных:

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно.

Примечание: Данное свойство не столь очевидно, как первые два, и справедливо не для всех благ. Если блага могут полностью замещать друг друга в потреблении, то свойство 3 не выполняется. Предположение 3 вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линий безразличия, т.е.

Линия, соединяющая потребительские наборы (x1, x2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.

Если линия безразличия UD2 расположена выше и правее ("се-

веро-восточнее") линии безразличия UD1 , то D2 > D1. Верно и обратное.

Иными словами чем "северо-восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует. Линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат.

Рассмотрим фиксированную линию безразличия UDk . Пусть потребительский набор ( x1,x2 ) UDk . При выполнении ряда естест-

венных предположений (непрерывность первых частных производных

U1 , U2 и U2 0 ) справедлива следующая формула: dx2 dx1

Для нее справедливы свойства 1 и 2 функции полезности. Свойство 3 не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции U(x1,x2) равны нулю.

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребитель-

ского набора ( x10, x20 ), который максимизирует его функцию полезно-

сти при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. p1x1 p2x2 D , где p1 и p2 - рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а D - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины p1 , p2 и D

заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

U x1,x2 max ;

при условиях p1x1 p2x2 D ; x1 0, x2 0.

Допустимое множество (множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности.

Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.

10.2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА

ИЕГО СВОЙСТВА

Набор ( x10, x20 ), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя,

или локальным рыночным равновесием потребителя. Отметим свойства задачи потребительского выбора.

1. Решение задачи ( x10, x20 ) сохраняется при любом монотон-

ном преобразовании функции полезности U(x1, x2). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на неко-

торое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы.

Поскольку значение U(x10, x20 ) было максимальным на всем

допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Отметим, что свойство 1 должно присутствовать у любой функции полезности; свойства 2 и 3 могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться.

2. Решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз .

Это равнозначно умножению на положительное число обеих частей бюджетного ограничения p1x1 p2x2 D , что дает неравенство,

эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход D не входят в функцию полезности, задача остается той же, что и первоначально.

В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования. Однако, если на каком-

можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор ( x10, x20 ), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. p1x1 p2x2 D .

Графически это означает, что решение ( x10, x20 ) задачи потре-

бительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где

Будем также считать, что в оптимальной точке ( x10, x20 ) условия положительности величин x1 и x2 выполняются автоматически, вытекая из свойств функции U x1,x2 . Как правило, это действительно так.

В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения.

238 Глава 10

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными величину , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1,x2 :

тельского выбора (за исключением так называемых угловых решений, которые здесь не рассматриваются).

равновесия индивидуума отношение предельных полезностей продуктов

норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия ( x10, x20 ), то следует, что эта предельная норма равна отно-

шению рыночных цен p1 на продукты. Приведенный результат играет p2

важную роль в экономической теории.

Геометрически решение ( x10, x20 ) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности U x1,x2 с бюд-

жетной прямой p1x1 p2x2 D . Это определяется тем, что отношение

dx2 U1 показывает тангенс угла наклона линии уровня функции dx1 U2

полезности, а отношение – p1 представляет тангенс угла наклона бюд- p2

жетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора (или локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит

касание данных двух линий. Следовательно x20 p1 , т.е. отноше-

x10 p2

ние (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений

x20 и x10 объемов продуктов в локальном рыночном равновесии

( x10, x20 ) приближенно равно отношению рыночных цен p1, p2 на про-

дукты.

Последнее равенство позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, т.е. набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.

Координаты решения ( x10, x20 ) задачи потребительского выбора

есть функции параметров p1, p2 и D: x10 x10 p1,p2, D ,

x20 x20 p1,p2, D .

Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй продукты. Важным свойством функций спроса является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инвариантны по отношению к пропорциональным изменениям цен и дохода (для любого числа 0 ):

x10 p1, p2 , D x10 p1,p2 ,D ; x20 p1, p2 , D x20 p1,p2 ,D .

Это означает, что если все цены и доход изменятся в одно и то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй - безразлично) останется неизменной.