Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

Разделим и умножим правую часть последней формулы на ин-

1

тенсивность : Nc T i ti .

Величина T есть среднее число заявок, пришедших за время T . Если разделим сумму всех времен ti на среднее число заявок, то по-

лучим среднее время пребывания заявки в системе tc .

Это и есть первая формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла,

связывающая среднее время пребывания заявки в очереди tоч и среднее число заявок в очереди Nоч :

tоч Nоч .

Для вывода достаточно вместо нижней линии на рис.5.3 взять функцию u t – количество заявок, ушедших до момента t не из систе-

мы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет на обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находится в ней нулевое время).

5.1.5.ОМАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. При исследовании СМО часто пользуются понятием произ-

водящей функции.

Рассмотрим случайную переменную, принимающую одно из значений j 0,1, 2 ... с вероятностью Pij . Производящей функцией

данного распределения является соотношение

( z ) z jPj ,

j 0

где переменная z удовлетворяет условию 1 z 1 и не имеет опреде-

ожидание рассматриваемой случайной переменной (5.1), а также, ис-

2. Наиболее часто применяется дифференциальный метод исследования СМО (составление дифференциальных уравнений Колмогорова и нахождение соответствующих вероятностей). Именно этот метод исследования СМО и применяется нами (в основном) в дальнейшем.

3. Иногда при исследовании СМО применяют преобразования

Лапласа-Стилтьеса.

Рассмотрим неотрицательную случайную переменную X и обозначим соответствующую функцию распределения через F t P X t .

Преобразованием Лапласа-Стилтьеса функции F t называ-

где s – вещественное число, принадлежащее ограниченному интервалу в окрестности нуля, скажем, интервалу S s S .

При этом s также не имеет конкретной физической интерпре-

Если X и Y представляют собой независимые случайные переменные, то изображение по Лапласу-Стилтьесу функции распределения суммы этих переменных равняется произведению соответствующих изображений, найденных для распределений вероятностей, упомянутых случайных величин в отдельности.

Так, например, если рассмотреть зависимость

представляющую собой функцию распределения суммы M независимых и идентично распределенных (по экспоненциальному закону) слу-

M

чайных переменных, то G s .

s

Если же в (5.5) произвести подстановку M , то это приво-

дит к распределению Эрланга:

Функцию распределения при фиксированном времени обслуживания можно рассматривать как предельный случай (5.6) при M .

Вэтом случае G( s) e sM .

5.2.СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

5.2.1.МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СОТКАЗАМИ

Вэтих СМО заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания были заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Схема возможных переходов n-канальной СМО с отказами представлена на рис.5.4.

Рис. 5.4. Схема возможных переходов n-канальной СМО с отказами Здесь xk – состояние системы, когда занято ровно k каналов (k = 0, 1, 2,

3,…, n).

Поставим задачу: определить вероятности состояний системы Pk t для любого момента времени t. Задачу будем решать при следую-

щих допущениях: поток заявок – простейший, с плотностью ; время обслуживания Tобc – показательное, с параметром

1 ; g t e t ; t 0 .

tобс

n

Очевидно, для любого момента времени Pk t 1.

k 0

Составим дифференциальные уравнения для вероятностей Pk t , начиная с P0 t . Зафиксируем момент времени t и найдем вероят-

ность P0 t t того, что в момент t t система будет находиться в

156 Глава 5

состоянии x0 (все каналы свободны). Это может произойти в двух случаях:

А – в момент t система находилась в состоянии x0 , а за время

t не перешла из него в x1 (не пришло ни одной заявки);

В – в момент t система находилась в состоянии x1, а за время

t канал освободился, и система перешла в состояние x0 . Возможностью «перескока» системы через состояние (напри-

мер, из x2 в x0 ) за малый промежуток времени можно пренебречь как величиной высшего порядка малости по сравнению с P A и P B . По теореме сложения вероятностей имеем:

ма была в состоянии x1 , равна P1 t . Вероятность того, что за время t

канал освободится, равна 1 e t .

С точностью до малых величин высшего порядка

1 e t t .

Следовательно, P B P1 t t .

Отсюда P0 t t P0 t 1 t P1 t t .

Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и для других вероятностей состояний. Возьмем любое состояние k 0 k n и найдем вероятность Pk t t того, что в момент t t

система будет в состоянии xk . Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий (по числу стрелок, направленных в состояние xk ):

лов), а за время t не перешла из него ни в xk 1, ни в xk 1 (ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);

В – в момент t система была в состоянии xk 1, а за время t

перешла в xk (пришла одна заявка);

С – в момент t система была в состоянии xk 1(занято k 1 ка-

налов), а за время t один из каналов освободился.

Найдем P A . Вычислим сначала вероятность того, что за время

t не придет ни одна заявка и не освободиться ни один из каналов:

e t e t k e k t .

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем:

k t

e 1 k t .

Отсюда P A Pk t 1 k t .

Аналогично P B Pk 1 t t; P C Pk 1 t k 1 t .

Тогда Pk t t Pk t 1 k t Pk 1 t t Pk 1 t k 1 t .

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для

Pk t , 0 k n :

dPk t Pk 1 t k Pk t k 1 Pk 1 t .

dt

Составим уравнение для последней вероятности Pn t . Имеем

Pn t t Pn t 1 n t Pn 1 t t ,

где 1 n t – вероятность того, что за время t не освободится ни

один канал;

t – вероятность того, что за время t придет одна заявка. Получаем дифференциальное уравнение для Pn t :

dPn t Pn 1 t n Pn t . dt

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей Pk t :

Эти уравнения называются дифференциальными уравнения-

ми Колмогорова. Интегрирование системы уравнений при начальных условиях P0 0 1; P1 0 ... Pn 0 0 (в начальный момент все кана-

лы свободны) дает зависимость Pk t для любого k .

Вероятности Pk t характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности, Pn t есть вероятность

того, что заявка, пришедшая в момент t, застанет все каналы занятыми и получит отказ:

Pотк Pn t .

Величина q t 1 Pn t называется относительной пропуск-

ной способностью системы. Для данного момента t это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.

Система линейных дифференциальных уравнений сравнительно легко может быть проинтегрирована при любом конкретном числе каналов n .

Заметим, что при выводе дифференциальных уравнений мы нигде не пользовались допущением о том, что величины и (плотности потока

заявок и потока освобождений) постоянны. Поэтому эти уравнения остаются справедливыми и для зависящих от времени t и t , лишь бы потоки

событий, переводящих систему из состояния в состояние, оставались пуассоновскими (без этого процесс не будет марковским).

Очевидно, что сразу же после включения СМО в работу, протекающий в ней процесс еще не будет стационарным (при const, const ): в

СМО, как и в любой динамической системе, возникает переходный, нестационарный процесс. Однако спустя некоторое время этот переходный процесс затухает, и система перейдет на стационарный, установившийся режим, вероятностные характеристики которого уже не будут зависеть от времени.

Во многих задачах практики нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания.