Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

n

2.Для предлагаемого варианта надо рассмотреть две одноканальные СМО (два специализированных окошка).

Таким образом, средняя длина очереди и среднее время ожидания в ней значительно увеличились, то есть предлагаемый вариант хуже первоначального. Произошло это потому, что в первом варианте меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров: если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, то он может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт B, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет.

Пример 5.7. Вычислительное устройство обрабатывает информацию, которая поступает в случайные моменты времени с интенсивностью 10 групп/мин. Учитывая, что объем информации и сложность обработки группы различны, можно принять, что время на обработку одной группы информации случайное и распределение его показательное с10групп/мин .

Устройство имеет память для хранения информации емкостью 5 групп. Если очередная группа застанет всю память занятой, то она теряется. Одновременно можно обрабатывать 2 группы информации. Со временем поступившая информация теряет свою ценность и в среднем через одну минуту становится непригодной для использования.

Определить, какой процент информации теряется из-за того, что пропускная способность устройства не позволяет своевременно обрабатывать всю информацию.

чением на длину очереди и временем пребывания в СМО. Вероятности состояний:

Таким образом, потери информации вследствие невозможности

еесвоевременной обработки составляют 11%.

5.4.ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Замкнутые системы предназначены для обслуживания постоянных, закрепленных за системой требований. Эти требования после обслуживания через некоторое время поступают в систему вновь (поступление в ремонт станков цеха, поломки машин некоторого автохозяйства).

Взамкнутой СМО требования циркулируют по замкнутому кругу. В связи с этим поток на выходе системы в какой-то мере определяет входной поток, и интенсивность входного потока зависит от состояния СМО (рис.5.2).

Характерным для такой СМО является наличие ограниченного числа требований.

Вдействительности любая СМО имеет источник с ограниченным числом требований, но в ряде случаев число требований так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на их поток.

Например, поток вызовов на АТС города исходит от ограниченного числа абонентов, но оно может быть столь большим, что практически можно считать интенсивность потока не зависящей от состояния АТС.

Простейшим примером замкнутой СМО может служить система обслуживания n рабочими-наладчиками группы из m станков. Рабочий

вкаждый момент времени может обслуживать только один станок.

Интенсивность потока неисправностей каждого станка , причем число требований имеет пуассоновское распределение, длительность обслуживания распределяется по показательному закону с интенсивностью .

Система здесь охватывает как обслуживаемый станок, так и станки, ожидающие обслуживания. Продукция (выход) системы состоит из исправных станков.

Предположим, что любой станок, исправный к моменту времени t , может выйти из строя с вероятностью dt в течение интервала

(t, t dt ), и что станок, находящийся в ремонте в момент времени t ,

может быть отремонтирован с вероятностью dt в течение этого же ин-

тервала.

Если в некоторый момент времени число машин (станков), ожидающих ремонта или ремонтируемых, равно k , то число исправных равно m k , и тогда вероятность поломки хотя бы одного из них в интервале (t, t dt ) равна (m k ) dt .

Таким образом, интенсивность потока изменяется скачкообразно всякий раз, когда станок выходит из строя или его необходимо ремонтировать.

Рассмотрим последовательно два случая:

1)число станков больше числа рабочих m n;

2)число станков не превосходит число рабочих m n.

5.4.1.ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ КОЛИЧЕСТВОМ

КАНАЛОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Пусть – интенсивность обслуживания одним прибором (их

всего n ).

Очевидно, интенсивность входящего потока зависит от числа

щий этому случаю, имеет следующий вид (рис.5.11).

Рис.5.11. Переходы в замкнутой СМО Здесь состояния СМО имеют следующее содержание:

xk k 0,n – занято обслуживанием ровно k каналов, очереди

нет,

Абсолютная пропускная способность A Nз .

Коэффициент простоя требований, ожидающих обслуживания:

Nоч .

m

Коэффициент простоя приборов обслуживания равен N0 . n

5.4.2.ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗБЫТКОМ КАНАЛОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Если число каналов больше числа требований, то можно для каждого требования выделить отдельный канал. Тогда требования никогда не будут простаивать в очереди.

Поскольку каналы, не связанные ни с одним из требований, остаются бездействующими, их вообще можно не рассматривать.

Ограничимся анализом случая m n .

Здесь имеем следующий граф состояний (рис.5.12).

Рис.5.12. Переходы в замкнутой СМО с избытком каналов обслуживания

Такая система, очевидно, эквивалентна объединению m n независимых замкнутых систем, каждая из которых содержит только одно требование. Для каждой такой одиночной системы вероятности состояний P0,P1 в стационарном режиме получаем из общих формул при под-

Если рассматривать всю систему в целом, то вероятность того, что в системе находится ровно k требований, выражается биномиальным распределением:

Среднее число требований, находящихся в системе при любом значении m следующее:

Пример 5.8. Рассматриваются два варианта системы:

1)Каждый рабочий–наладчик обслуживает 3 станка. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза в час. Процесс наладки занимает 10 мин.

2)Двое рабочих составляют бригаду и вместе обслуживают 6

станков.

Сравнить характеристики этих вариантов.

Решение.

1)Имеем параметры системы

Средняя относительная потеря производительности группы

станков за счет неисправностей (коэффициент простоя) w N 0,347 , n

т.е. за счет неисправностей группа станков теряет около 35% производительности.

6,549

Вероятность того, что будет занят наладкой один рабочий

6 1

P1 1 3 0,153 0,306.

Среднее число занятых рабочих

Nз 1 P1 2 1 P0 P1 1 0,306 2 0,541 1,388.

Абсолютная пропускная способность

A Pзан 1,388 6 8,328.

Среднее число неисправных станков

N 6 8,328 1,836 . 2

Коэффициент простоя оборудования в этом варианте

w 1,836 0,306. 6

Сравнение вариантов показывает, что объединение рабочих в бригаду увеличивает их загруженность, но улучшает использование оборудования.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 5

1.Приведите классификацию СМО.

2.Что такое простейший поток событий?

3.Какие предпосылки принимаются при составлении моделей

СМО?

4.В чем заключаются особенности оптимизации моделей СМО?

5.Что такое марковский случайный процесс (марковская случайная последовательность)?

6.Приведите примеры использования моделей СМО на практике.

ЗАДАНИЕ К ГЛАВЕ 5

Задача. Исследовать потоки заявок в реальной системе массового обслуживания, построить математическую модель и оптимизировать данную систему. Необходимо:

1.Уяснить физическую сущность основных процессов, протекающих в заданной СМО (табл.5.11).

2.Определить степень приближения входного потока к простейшему, а закона распределения времени обслуживания одной заявки одним каналом к показательному.

3.По вычисленным основным параметрам входных и выходных потоков построить математическую модель системы и определить предельные вероятности ее состояний. Рассчитать основные показатели эффективности функционирования СМО, включая экономические оценки.

4.Предложить 1 – 3 варианта усовершенствования системы, с целью повышения ее эффективности функционирования по экономическим параметрам (критериям). Произвести экономическую оценку различных вариантов организации работы системы и выбрать наилучший из них.

5.Проанализировать полученные результаты.

ГЛАВА 6. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

6.1. ОСОБЕННОСТИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЛАНСОВОЙ МОДЕЛИ

Балансовая модель производства является одной из наиболее простых моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между производимым отдельным экономическим объектом количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Балансовая модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко рассчитывается на ЭВМ. При балансовых исследованиях используется аппарат линейной алгебры.

Пусть экономическая система состоит из n экономически взаимосвязанных объектов. Продукция каждого объекта (валовый выпуск) частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется объектами данной экономической системы. Эта часть продукции называется производственным потреблением. Таким образом, каждый объект системы выступает и как производитель продукции, и как ее потребитель.

Введем следующие обозначения:

xi - валовый выпуск продукции i-го объекта за планируемый

период;

yi - конечный продукт i-го объекта, идущий на внешнее потребление;

xij -часть продукции i-го объекта, которая потребляется j -м

объектом для обеспечения выпуска его продукции в размере x j .

В дальнейшем будем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном измерении.

Для рассматриваемой экономической системы величины yi вы-

ступают в виде планового задания. Составить план для данной экономической системы – это значит на основании набора n чисел заданий ука-

зать n2 чисел xij i, j 1,2 ,.., n .

Таблица 2.1 представляет собой балансовую таблицу. Очевидно, величины, расположенные в строках табл.6.1, связан-

ны балансовыми равенствами

Введем в рассмотрение величины aij , которые называются ко-

эффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют расход продукции i-го объекта на выпуск единицы продукции j -го объекта. Тогда справедливо равенство

ны в некотором промежутке времени, охватывающем как истекший, так и планируемый периоды. Поэтому они могут быть вычислены по фор-

xij xij

муле aij x j x j , где xij и xi - данные, относящиеся к истекшему

периоду.

Пусть теперь известны коэффициенты прямых затрат для всех объектов экономической системы. Эти данные могут быть записанные в

an1an2 ann

которая называется матрицей коэффициентов прямых затрат.

Важной особенностью матрицы A является неотрицательность ее коэффициентов, т.е. A 0.