Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

Примечание. Формула Бернулли, локальная теорема МуавраЛапласа и формула закона Пуассона дают ответ на один и тот же вопрос, а именно, они определяют вероятность того, что в n независимых испытаниях некоторое событие наступит ровно m раз, если в каждом испытании это событие может наступить с постоянной вероятностью р. По формуле Бернулли получаем точное значение вероятности этого события. Однако из-за вычислительных трудностей эта формула применяется только в случаях, когда число испытаний n невелико.

Если число испытаний будет большим, то используется локальная теорема Муавра-Лапласа, а если, кроме того, вероятность поступления события в отдельном испытании мала, то – формула Пуассона

Вероятность искомого события, получаемая по локальной теореме Муавра-Лапласа, оказывается достаточно точной, если число npq

не меньше 20 (npq 20). Если же npq 20 и вероятность р не мала, то

для подсчета искомой вероятности нужно обратиться к формуле Бернулли.

Формула Пуассона применяется в том случае, когда при большом числе испытаний n вероятность наступления события в каждом испытании весьма мала, а число a np невелико (не больше 10).

4.3. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХВЕЛИЧИН

Система двух случайных величин ( X, Y ) полностью описыва-

ется двумерным законом распределения, обычно задаваемым в одной из трех форм.

1. Ряд распределения. Для системы двух дискретных случайных величин закон распределения удобно задавать в виде прямоугольной таблицы, где по одной стороне откладываются возможные значения одной переменной, по другой – значения второй переменной, а в соот-

102 Глава 4

ветствующих клетках на пересечении столбцов и строк заносятся вероятности совместного появления событий (табл.3.1).

2. Функция распределения системы двух случайных величин ( X, Y ) – это вероятность совместного выполнения двух неравенств

( X x) и (Y y):

F( x,y) P( X x; Y y).

Геометрически функция F( x,y) есть вероятность попадания

случайной точки ( X, Y ) в бесконечный квадрант с вершиной в точке

( x,y), лежащий левее и ниже значения ( x,y).

Аналогично, как частный случай, функция распределения одной случайной величины F1( x) есть вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой x.

Функция F2( x) есть вероятность попадания точки в полуплос-

кость, ограниченную сверху ординатой y .

Свойства функции F( x,y):

а) F( x,y) есть неубывающая функция обоих своих аргументов,

ментов, равном + , функция распределения системы превращается в

функцию распределения одной СВ, соответствующей другому аргументу.

г) F( , ) 1.

д) Вероятность попадания случайной точки ( X, Y ) в прямоугольник R , ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, определяется через F( x,y) по соотношению

P(a Х b; c Y d) F(b, d ) F(b, c) F(a, d ) F(a, c).

3. Плотность распределения системы двух СВ представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю. Она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам:

вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f( x,y) и опирающегося на элементарный прямоугольник dxdy .

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область C может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области C :

P(( X,Y ) C ) f( x,y)dxdy.

(C )

Геометрически вероятность попадания в область C изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область C . В частности, вероятность попадания случайной точки ( X, Y ) в прямоугольник R , огра-

ниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, выражается зависимостью:

bd

P(( X ,Y ) C ) f( x,y)dxdy .

a c

Функция распределения F( x,y) выражается через функцию плотности соотношением:

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему (маргинальные законы распределения).

Ранее получили: F1( x) F( x, ); F2( y) F( ,y).

x

Так как F1( x) F( x, ) f( x,y )dxdy, то, дифференцируя

последнее выражение по x, будем иметь:

Зная f( x,y), легко определяются f( x) и f ( y ) . Наоборот –

труднее, так как надо знать условные законы распределения.

Условным законом распределения величины X, входящей в систему ( X, Y ), называется ее закон распределения, вычисленный при

условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y. Зная закон распределения одной из величин и условный закон распределения другой, можно составить закон распределения системы.

Теорема умножения законов распределения: f( x,y ) f1(x) f ( y x).

Аналогично: f( x,y ) f2( y) f (x y).

Условные законы распределения можно определить через безусловные:

зависимость случайных величин всегда взаимны: если величина Y не зависит от X , то и величина X не зависит от Y .

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются за-

висимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид: f( x,y) f1( x)f2( y),

т.е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Это условие может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.

k,s M[ X kYs ].

Центральным моментом порядка (k, s ) системы ( X, Y ) назы-

вается математическое ожидание произведения k -й и s-й степеней соответствующих центрированных величин:

00

k,s M[ X k Ys ] M[( X mx )k(Y my )s ].

Для дискретных случайных величин начальные и центральные моменты вычисляются, соответственно, по формулам:

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеяния величин X и Y , еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеяние. Поэтому для характеристики степени тесноты связи между величинами ( X, Y ) в чистом виде переходят от момен-

релированными. Обратное верно не всегда. Равенство нулю коэффициента корреляции (корреляционного момента) есть необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величин.

Условие независимости случайных величин – более жесткое, чем условие некоррелированности. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только линейной зависимости между случайными величинами.

Свойства коэффициента корреляции:

rxy r( X ,Y ) r(aX b, cY d ), где a, b, c, d – константы;

1 rxy 1.

Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин

( X1, X2, ..., Xn ), сводится к следующему: n математических ожиданий m1, m2, ...,mn , характеризующих средние значения величин; n диспер-

сий D1, D2, ..., Dn , характеризующих их рассеяние; n(n 1) корреляци-

цию всех величин, входящих в систему.

Все корреляционные моменты и дисперсии удобно располагать в виде симметричной по отношению к главной диагонали квадратной корреляционной матрицы случайных величин ( X1, X2, ..., Xn ):

R11 R12...R1n

Rij ... ... ... ,

Rn1 Rn2...Rnn

В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто пользуются

нормированной корреляционной матрицей rij , составленной из коэф-

фициентов корреляции

Плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой:

Параметры mx , my представляют собой математические ожи-

дания (центры рассеивания) величин X и Y ; x, y - их средние квад-

ратические отклонения; r – коэффициент корреляции величин X и Y . Если X и Y не коррелированы, то

Для системы СВ, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость.

Термины "некоррелированные" и "независимые" величины для случая нормального распределения эквивалентны.

Условный закон двухмерного нормального распределения:

f( x| y ) f (x,y ) f (x)

квадратическим отклонением y|x y 1 r2 .

Из последних формул следует, что в условном законе распределения величины Y при фиксированном X x от этого значения зависит только условное математическое ожидание my x , но не дисперсия.

4.4. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

Любое значение искомого параметра а, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайно-

сти. Такое приближенное, случайное значение ~ называют оценкой a

параметра а.

опытов n она приближается (сходится по вероятности) к искомому пара-

вию, называется несмещенной.

Если выбранная нeсмещенная оценка обладает по сравнению с

Оценка неизвестного параметра одним числом называется

тoчечной.

Статистическая оценка, определяемая двумя числами, концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр с некоторой вероятностью, называется интервальной.

Пусть для параметра a получена из опыта несмещенная оценка

~ . Можно оценить достоверность, надежность этой оценки, т.е. воз- a

можную ошибку при замене a на ~ . a

Назначим некоторую такую достаточно большую вероятность P (например, P = 0.9, 0.95, 0.99), что событие с вероятностью P

можно считать практически достоверным, и найдем такое значение , для которого