Мет.моделирования и прогнозирования эк-ки

Вмоделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.).

Внашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на оптимизации. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

Вмоделях статических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В статических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, – например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает тенденции (силы) и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели (отсутствие случайных составляющих).

Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Всякая модель является упрощенным представлением действительности, и искусство моделирования состоит в том, чтобы знать, что, где, когда и как можно и нужно упростить. В ММ стремятся совместить как можно большую лаконичность параметризации модели с достаточной адекватностью описания изучаемой действительности или, другими словами, чтобы достигнуть максимальной концентрации реальности в простой математической форме.

1.3.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМ

ИСИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Система – (от греч. sýstëma – целое, составленное из частей; соединение) множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определённую целостность, единство.

При определении понятия системы необходимо учитывать теснейшую взаимосвязь его с понятиями целостности, структуры, связи,

элемента, отношения, подсистемы и др.

Поскольку понятие системы имеет чрезвычайно широкую область применения (практически каждый объект может быть рассмотрен как система), постольку его достаточно полное понимание предполагает построение семейства соответствующих определений – как содержательных, так и формальных. Лишь в рамках такого семейства определений понятие “система” удается выразить основные системные принципы:

1)целостности – принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих её элементов и невыводимость из последних свойств целого, зависимость каждого элемента, свойства и отношения системы от его места, функции и т.д. внутри целого;

2)структурности – возможность описания системы через установленные её структуры, т.е. сети связей и отношений системы; обусловленность поведения системы поведением её отдельных элементов и свойствами её структуры;

3)взаимозависимость системы и среды – система форми-

рует и проявляет свои свойства в процессе взаимодействия со средой, являясь при этом ведущим активным компонентом взаимодействия;

4)иерархичность – каждый компонент системы в свою очередь может рассматриваться как система, а исследуемая в данном случае система представляет собой один из компонентов более широкой системы;

5)множественности описания каждой системы – в силу принципиальной сложности каждой системы её адекватное познание требует построения множества различных моделей, каждая из которых описывает лишь определенный аспект системы и др.

Спонятием "система" тесно связаны понятия "системный анализ" и "системный подход".

Системный анализ – совокупность методов и средств решения сложных задач. Основой системного анализа считают общую теорию систем и системный подход.

Важнейшие принципы системного анализа сводятся к сле-

дующему:

1)процесс принятия решений должен начинаться с выявления и четкого формулирования конечных целей;

2)необходимо рассматривать всю проблему как целое, как единую систему и выявлять все последствия и взаимосвязи каждого частного решения;

3)необходимы выявление и анализ возможных альтернативных путей достижения цели;

4)цели отдельных подсистем не должны вступать в конфликт

сцелями всей системы.

Системный анализ опирается на ряд прикладных дисциплин и методов, широко используемых в современной деятельности управления: исследование операций, метод экспертных оценок, метод критического пути, теорию очередей, математическое программирование, теорию полезности, теорию игр и т.п.

Системный подход – направление методологии научного познания, в основе которого лежит исследование объектов как систем.

Методологическая специфика системного подхода определяется тем, что он ориентирует исследование на раскрытие целостности объекта и обеспечивающих ее механизмов, на выявление многообразия типов связей сложного объекта и сведение их в единую теоретическую картину.

Любой экономический объект следует рассматривать с системных позиций.

Экономико-математические модели как сложные системы

Экономико-математические методы (ЭММ) используются для исследования объективных экономических законов и форм проявления этих законов.

Экономическое моделирование сложнее физического. Экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения. Моделирование производственных процессов не представляет принципиальных трудностей и во многом соответствует принципам моделирования физических процессов. Моделировать же производственные отношения значительно сложнее, так как необходимо учитывать поведение людей, их интересов и индивидуально принятых решений.

Например, можно математически описать производительность каждого рабочего в каждой операции бригады на мелко серийном производстве, выделить эти операции, необходимые для изготовления каждой детали, и поставить задачу о минимальных затратах времени на выполнение полученных заданий. Такая проблема сводится к задаче линейного программирования, методы решения которой хорошо разработаны и не представляют трудностей.

Однако такое решение не учитывает индивидуальные особенности мастера, отдельных рабочих, не стимулирует в явном виде их эконо-

мические интересы. С этой точки зрения такая модель не учитывает производственные отношения и не всегда бывает эффективной в реальной жизни.

Экономико-математическая модель может рассматриваться как сложная система.

Признаками сложных систем являются:

1)Наличие большого количества взаимно связанных и взаимодействующих между собой элементов. Невозможность полной формализации объекта.

2)Сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение заданной цели функционирования.

3)Возможность разбиения системы на подсистемы, цели функционирования которых подчинены общей цели функционирования всей системы.

4)Наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру), разветвленной информационной сети и интенсивных потоков информации.

5)Наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях взаимодействия случайных факторов.

1.4.ЭТАПЫ И ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие.

Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

Обычно экономическая модель строится по следующей схеме.

1.Формулируются предмет и цели исследования.

2.В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов.

3.Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели.

4.Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым, формулируется математическая модель.

5.Проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения.

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров.

Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию.

В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

Процесс математического моделирования, т.е. изучения явления

спомощью ММ, можно подразделить на 4 этапа.

1.Формулирование законов, связывающих основные объекты и модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязь. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

2.Исследование математических задач, к которым приводит ММ. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

3.Выяснение адекватности ММ, т.е. того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) ММ критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений.

Если модель была вполне определена – все параметры ее были заданы, то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой отклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении ММ некоторые ее характеристики остаются неопределенными.

Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) так, чтобы выходная информация была

сопоставима в пределах точности наблюдений с результатом изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если ММ такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений.

Применение критерия практики к оценке ММ позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели.

4. Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1

1.В чем суть и преимущества моделирования как метода исследования и познания?

2.Что такое математическая модель?

3.В чем отличие статических моделей от динамических?

4.Чем отличаются детерминированные модели от стохастиче-

ских?

5.Назовите этапы построения экономико-математической модели. Приведите пример построения и уточнения модели?

6.В чем проявляется системный подход к разработке и исследованию экономико-математических моделей?

7.Приведите классификацию и охарактеризуйте основные типы математических моделей.

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ В ТОРГОВОЙ

ИКОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

2.1.ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Математическое программирование представляет собой ма-

тематическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения [1, 4, 9, 13, 14, 17, 20, 24, 28].

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой

функции f(x1, x2,…,хn) при условиях gi( x1,x2 ,...,xn ) bi , (i 1,m), где f и gi - заданные функции, а bi – некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций f и gi математическое про-

граммирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Прежде всего задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. При этом если все функции f и gi линейные, то соответствующая задача является

задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из ука-

занных функций нелинейная, то соответствующая задача является зада-

чей нелинейного программирования.

Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов (например, симплексный метод), алгоритмов и программ.

Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого программирования бо-

лее подробно исследованы задачи квадратичного программирования.

В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробнолинейного программирования.

Взадачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

Взадачах параметрического программирования целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных, либо то и другое зависят от некоторых параметров.

Взадачах дробно-линейного программирования целевая функция представляет собой отношение двух линейных функций, а функции, определяющие область возможных изменений переменных, также являются линейными.

Выделяют отдельные классы задач стохастического и динамического программирования.

Если в целевой функции или в функциях, определяющих область возможных изменений переменных, содержатся случайные величины, то такая задача относится к задаче стохастического программи-

рования.

Задача, процесс нахождения решения которой является много-

этапным, относится к задаче динамического программирования.

Пример 2.1. На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных

изделий. Пусть при j-м варианте раскроя ( j 1,n) 100 м2 ткани изготов-

ляется bij деталей i-го вида (i 1,m), а величина отходов при данном

варианте раскроя равна cj м2. Зная, что деталей i-го вида следует изготовлять Bi штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что по j-му варианту раскраивается xj сотен м2 ткани. Поскольку при раскрое 100 м2 ткани по j-му варианту получается bij деталей i-го вида, по всем вариантам раскроя из используемых тканей будет получено bi1x1 bi2x2 ... binxn деталей j-го вида. Так как должно быть изготовлено Bi деталей данного вида, то

bi1x1 bi2x2 ... binxn Bi (i 1,m).

Общая величина отходов по всем вариантам раскроя ткани со-

ставит

F = с1x1 + с2х2 +…+ cnxn .

Таким образом, приходим к следующей математической задаче:

n

найти минимум функции F cjxj при условии, что ее переменные

j 1

неотрицательности переменных xj 0 ( j 1,n).

Сформулированная задача является задачей линейного программирования, так как целевая функция линейная, а система ограничений содержит только лишь линейные уравнения.

Общей задачей линейного программирования называется за-

дача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

где aij ,bi ,cj - заданные постоянные величины и k m.

Функция (2.1) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (2.1) – (2.4), а условия (2.2) – (2.4) – ограничениями данной задачи.

Стандартной (или симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (2.1) при выполнении условий (2.2) и (2.4), где k m и l n .

Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (2.1) при выполнении условий (2.3) и (2.4), где k 0 и l n.

Совокупность чисел X ( x1,x2,...,x3 ), удовлетворяющих огра-

ничениям задачи (2.2) – (2.4), называется допустимым решением (или планом).

План X* = (x1*, x2*,…, xn*), при котором целевая функция задачи (2.1) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется

оптимальным.

Указанные выше три формы задачи линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью неслож-

ных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из трех задач.

Чтобы перейти от одной формы записи задачи линейного программирования к другой, нужно уметь:

1)сводить задачу минимизации функции к задаче максимиза-

ции;

2)переходить от ограничений-неравенств к ограничениямравенствам и наоборот;

3)заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

minF max( F1 ).

Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид “ ”, можно преобразовать в ограничениеравенство добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида “ ” – в ограниче- ние-равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной. Таким образом, ограничение-неравенство ai1 x1 + ai2 x2 +…+ ain xn bi преобразуется в ограничение-равенство ai1 x1 + ai2 x2 +…+ ain xn + xn+1 = bi ( xn+1 0 ), а ограничение-неравенство ai1 x1 + аi2 х2 +…+ аin хn bi – в ограничение-равенство ai1 x1 + ai2 x2 +…+ain xn -xn+1

=bi ( xn+1 0 ) .

Вто же время каждое уравнение вида ai1 x1 + ai2x2 +…+ ain xn = bi можно записать в виде неравенств:

ai1x1 ai2x2 ... ainxn bi,ai1x1 ai2x2 ... ainxn bi.

Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.